球体に平行光を当てた場合 正しい陰影はどちらですか

質問

球体に、横から平行光を当てた場合の陰影のつき方は、添付のAとBどちらが物理的に正しいでしょうか。

光は真横（90度）から当てています。
光に減衰はありません。
部屋は真っ暗で、光以外の光源はありません。二次反射光もありません。
球体は白、ライトも白です。
球体の質感は拡散が100％で、反射はありません。石膏のようなものです。
カメラはパースを切るために、超望遠で撮影しています。

画像の下にあるのは、明るい点から暗い点へのヒストグラム（明度の分布）です。
Aは明かりが均等に分布しています。つまり直線的なグラデーションです。
Bは明かりが明るい方に偏っています。中間部の明かりが明るい方に持ち上げられていて、曲線的なグラデーションになっているようです。

私の物理の知識は中学レベルなので、それでもわかるように説明していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.7

tadopikaQ

私の説明は前回の回答で尽きていますが、文章では分かりにくいということですので、私が自分の理論に基づいて画像を作成してみました。
如何でしょうか?

中央部分（赤道上）の明るさの式 y=k*x/√(1-x^2) で、5組の(x,y)を設定し、球面の明るさを5段階に表示しました。
又、それらしく見えるようにするため、ぼかし処理を施しています。

5組の(x,y)は、暗い方から順に、(0.156, 6), (0.454, 21), (0.707, 40), (0.891, 79), (0.988, 255) です。

ここで、定数kは、k=40.388 としました。
これにより、最も明るい部分（円周付近）の明るさが、y=255となります。
つまり、yがそのままRGBの値になっています。

尚、実際の写真がどうかということですが、私は撮影の詳しい設定を知りませんし、何とも言いようがありません。
この点は、ご自分で研究してみてください。

お礼

何が正しいかはここを見た人に判断してもらいます。

回答No.6

foomufoomu

＞光が、球の表面で全方向の空間に均等に拡散する場合、観測者から見た、
＞球面上のある微小部分は、「光源から見た微小部分の面積と、
＞観測者から見たその面積の比率」に比例した明るさに見えます。

これは、物体の表面で光が反射するような感覚で考えて、面に入る光と観測者に向かう光の比を求めていると思いますが、間違いです。

まず、物体の明るさには、観測者から見た面積は関係ありません。観測者へ向かう光の「全量」には面積が関係しますが、「明るさ」は単位面積当たりの光の量(光の密度)になるので、面積が大きくても小さくてもおなじです。
あるいは、反射後の光の量を考えると、見た目の面積が小さい＝面に平行に近い角度で見ていることになるので、反射後の光は広い立体角に放出されるので、面積が小さくても、高い光の密度にはなりません。

正しい考え方は、
完全乱反射であれば、反射後の光はどの方向にも同じ密度で出るので、観測者と面のなす角度は関係ありません。（これが完全乱反射の定義です。）
そのため、物体の明るさは、単純に「各面がどれだけの強さで照らされているか」だけで決まります。
その強さは、前の私の回答にあるように、光線と面のなす角度のコサイン×光の強さです。

ただし、現実の物体の場合は、
・表面に凸凹がある。
・完全乱反射でない
ので、この通りになりません。
最初の回答にあるように、実際のところは、半月はＢに近い明るさで見えます。

質問者さんも、理論と現実の違いにとまどって、このような質問をされたのではありませんか？

補足

月の陰影についてですが、あれは画像加工されたものだという回答をいただいています。
http://okwave.jp/qa/q8954234.html

これは今回の質問から外れてくるので必ずご回答いただかなくてもいいのですが、
3DCGで球面を凸凹させても、Bのようにのっぺりとした陰影にはなりませんでした。

↓のEです。
http://uploda.cc/img/img55320fc8826a4.jpg

現実には完全乱反射の材質がないというのは、実際には鏡面反射（面に入射した光が同じ角度で反射していく）もするということでしょうか？

上記URLのEに鏡面反射の値を与えたものがFですが、やはりこれもBのようにはなりませんでした。

惑星の陰影については、画像加工ではないとしても、あまりに巨大なために何か別の要因が働いているのではないかという気がしています。

回答No.5

tadopikaQ

間違えました。もう一度書き直します。

光が、球の表面で全方向の空間に均等に拡散する場合、観測者から見た、球面上のある微小部分は、「光源から見た微小部分の面積と、観測者から見たその面積の比率」に比例した明るさに見えます。

従って、A, Bのどちらでもありません。
先ず、光の当たる部分のみ、半円形に見えることは、その通りです。
光の当たる境界線（円の中心を通る縦の直線）は、真っ暗になります。
そして、境界線から円周に向かって、徐々に明るくなります。
丁度、地球儀の経線（北極と南極を通る南北方向の線）に沿うよに明るくなると思われます（この点は、確信がありません）。
明るさの変化の仕方は、境界線に近いほど緩く、円周に近づくにつれて急激に明るさが増します。
理論上、円周上の明るさは、無限大になります。

球の半径を1とし、球（円）の中心から左にxの距離にある点の明るさをyとします。
このとき、中央部分（赤道上）の明るさは、
y=k*x/√(1-x^2)
となります。kは正の定数です。

質問にお答えします。

＞Cは、Aの中間部分の明るさを下げたものです。
＞それとも「放射状に徐々に明るくなる」ということはDという意味でしょうか？

Cは、同じ明るさの点が縦の直線状になっているところが違います。この点は、A, Bにも当てはまります。
「放射状に徐々に明るくなる」というのは、間違いでした。
Dは、同じ明るさの点が曲線状になり、正解に近づきましたが、その曲線が少し違います。
恐らくは、地球儀の経線に沿う曲線状になると思います。この場合、どの曲線も、北極と南極が両端となります。
試しに、このような画像を作成してみてください。きっと、それらしく見えるでしょう。

補足

前も書きましたように難しくておっしゃっていることがあまり理解できていないのですが、

観測者の位置によって球体の表面上の明るさが変わるということでしょうか？
だとするとそれはおかしいように思います。
拡散が100％ということは、球の表面で光は全方位に拡散しますから、球体の表面上の特定の位置の明るさは、どの位置から見ても同じ筈です。

Dに近いということですが、前回も貼った実際の写真
http://shuffle.genkosha.com/picture/img_tech_lightingstory04_14.jpg
これがそうは見えないのは何故でしょうか？

また、他の方から回答をいただきましたが、3DCGでの計算方法ではコサインで明るさを求めるとのことですが、それについてはいかがでしょうか？

回答No.4

foomufoomu

これは、3Dグラフィックのレンダリング（色付け）の原理を知っている人なら答えられます。完全に乱反射する物体の明るさは、その表面の法線(面に垂直な線)と光線のなす角度のCOSに比例します。
したがって、明るさはAに近いものになります(COSはゼロ付近ではほとんど直線的に変化するので)

しかし、月の明るさはBに近い分布になっています。これは、月の表面はかなり凸凹があって、影との境目近くにもよく光の当たる面が存在するためです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
3DCGはコサインで明るさが決まるということですね。
Aは3DCGでそのままレンダリングした画像なので、その通りだと思います。
ただ、それが物理的に正しいかどうか気になって質問しました。
正しくないという回答をされている方もおられるので、追加の回答が来るのを待ちたいと思います。

回答No.3

tadopikaQ

光が、球の表面で全方向の空間に均等に拡散するのであれば、観測者からは、「球面上のある微小部分の面積と、その見かけ上の面積の比率」に比例した明るさに見えます。

従って、A, Bのどちらでもありません。
先ず、光の当たる部分のみ、半円形に見えることは、その通りです。
円の中心は、最も暗く見えますが、一定の明るさがあります。
そして、円の中心から円周に向かって、放射状に徐々に明るくなります。
明るさの変化の仕方は、円の中心に近いほど緩く、円周に近づくにつれて急激に明るさが増します。

球の半径を1とし、観測者から見た球（円）の中心から距離xにある点の明るさをyとします。
理論的な説明は省きますが、yは、
y=k/√(1-x^2)
となります。ここで、kは正の定数で、円の中心部分(x=0)の明るさを表します。

補足

すいませんが私の理解が及びません。
新しい画像を追加しました。
http://uploda.cc/img/img552fc6de1d52e.jpg

Cは、Aの中間部分の明るさを下げたものです。
それとも「放射状に徐々に明るくなる」ということはDという意味でしょうか？

ちなみに、ここに本物の球体に横からライトを当てた画像があるのでご参照ください。
http://shuffle.genkosha.com/picture/img_tech_lightingstory04_14.jpg

追加のご説明をお待ちしております。

回答No.2

Tann3

Bです。

　「真横から」「平行に」であれば、球のちょうど左半分が「昼間」、右半分が「夜」に相当します。境目は「日の出」「日没」です。「昼間」の部分と「夜」の部分は、同じ大きさになります。

　Aは、光の当たる部分が「半球」よりも小さく、「夜」の部分の方が多いように見えます。「平行な光」では、そうなりません。

　画像の下にある「ヒストグラム」は、意味が分かりませんでした。これは判断材料に使っていません。

補足

お使いのモニターが暗いようです。
AもBも、球体のちょうど正面で光が0になっている点では同じです。
画像編集ソフトで読み込んでみてください。
違うのは、一番明るい点から暗い点（光が0になる点）までのグラデーションが
直線的か曲線的かということです。

回答No.1

b4330b

Bです

半月はBですね

補足

理由を書いていただけますでしょうか。
月の陰影については以前私が質問していまして、画像加工によるものだと回答をいただいています。
http://okwave.jp/qa/q8954234.html