数学III 積分に関する問題

質問

写真の489番を解ける方、解説をお願いします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

(1)
S(t)=∫[t,t+1] (e^x)-x dx=[(e^x)-(1/2)x^2][t,t+1]
　=(e-1)(e^t)-t-(1/2) ...(答)

(2)
S'(t)=(e-1)(e^t)-1
S'(t)=0を満たすtを求めると t=-log(e-1)(≒-0.5413)
t<-log(e-1)のときS'(t)<0で単調減少
t>-log(e-1)のときS'(t)>0で単調増加
であるから, S(t)はただ１つの極小値S(-log(e-1))をもつ下に凸の連続関数。
(増減表を描いてグラフの概形を描いてみて下さい。)
したがってt=-log(e-1)でS(t)はt=-log(e-1)で極小値、つまり最小値をとる。
最小値S(-log(e-1))=(e-1){e^(-log(e-1))}+log(e-1)-(1/2)
={(e-1)/(e-1)}+log(e-1)-(1/2)
=(1/2)+log(e-1) ... (答)

お礼

ありがとうございます。
下の人にいじめられて悲しかったけど(笑)
解説してもらえて、嬉しいです。