数学IIIの問題で

質問

すべての正の実数ｘに対して
e^x>x^2が成り立つことを示せ

という問題がわかりません。
どなたか解説していただけませんか？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

f(x)=e^x-x^2>0 (x>0)
を示せば良い。

f'(x)=e^x-2x
f''(x)=e^x-2
f''(x)=0とするx=ln(2)
0<x<ln(2)でf''(x)<0(単調減少), ln(2)<xでf''(x)>0（単調増加）
したがって
　x>0でf'(x)の最小値f'(ln(2))=2-2ln(2)=ln(e^2/4)>0
ゆえにx>0でf'(x)>0,f(x)は単調増加関数。
f(0)=1,f'(0)=1>0なので,
　x>0でf(x)=e^x-x^2>1>0
∴e^x>x^2

お礼

グラフまで添付していただき
ありがとうございました!
よくわかりました。

回答No.1

spring135

x>0でy=e^x-x^2が常に正を言えばよい。