logがわかりません。

質問

logについてよくわからないです。
記号って難しく感じます。

不等式0≦log(3) (log(3)x)　<　1の整数解の個数を求める問題です

回答No.4

hinebot · ベストアンサー

＃１です。

横から失礼します。

>＞関数　ｙ＝log[3]（x）の値は、x　が増加すればするほど大きくなりますから、
>どうしてこのようなことがわかるのですか？（いえるのですか）

それが対数関数の性質です。　と言ってしまえばそれまでなので、もう少し説明します。

#2さんも書かれていますが、対数の定義は指数に帰着できます。
n=log(a)x とすると、これは　x=a^n と同じことです。

ここで、xを増加させてみましょう。今回の場合はa=3ですから　x=3^n と表せます。
どうですか？　ｘが増えれば、ｎも増えますよね？
もうすこし、噛み砕くと
3^p＜3^q　⇔ p＜q
ということですね。
一般に、log(a)x について
0<a<1 のときは、単調減少（ xが増加すれば、logは減少する）
a>1 のときは、単調増加（ xが増加すれば、logも増加する）
が言えます。

> 質問なのですが、＞26 - 3 + 1 または、26 - 2 で求まります。
>はどこでわかるのですか？

3　≦　x　<　27

ですよね。これを満たす整数の個数を求めるわけです。
等号が左側だけついているので、3は含まれますが、27は含まれません。
なので、これを満たす最大の整数は26になります。
3～26までの整数の個数を求めるので、
26-3+1
になります。（最後１を足しているのは、26-3だと３の分まで引いてしまうからです。）
（１～２６の個数）－（１～３の個数）＋（３の分）
と考えると分かりやすいかな？
26-2の方は、
（１～２６の個数）－（１と２の個数）[３から数えるので]
という理屈です。

回答No.5

KENZOU

＃３のmickel131さんの非常に明快な回答にまた質問が寄せられ、＃４のhinebotさんの大変わかり易い回答で落着しそうですね。
＞ｘの整数解の個数は、　24 個です。
アラ、そうでした。つい手で数えたもので(笑い）、間違いました。

＞ＫＥＮＺＯＵさん、横から口出してすみません。
とんでもないです。口出しドンドン大歓迎です。

回答No.3

mickel131

hinebotさんの答えを使わしてもらいます。

log[3](x) = Ａ とおきます。
0≦　log[3] (log[3]x)　<　1
より、
0≦　log[3]（Ａ）<　1
ここで、左辺の 0 は　log[3]（1) , 右辺の1　は　log[3]（3) と直せますね？　だから、
log[3]（1)　≦　log[3]（Ａ）<　log[3]（3)
関数　ｙ＝log[3]（x）の値は、x　が増加すればするほど大きくなりますから、
log[3]（1)　≦　log[3]（Ａ）<　log[3]（3)
から、
　 1 ≦ Ａ < 3
ということがわかります。（log[3]をはぎとるのです。）
あとは、Ａ を log[3]x　に戻して、
　　　　1 ≦ 　　log[3]x　< 3
となりますね。
ここで、再び、左辺の 1 を　log[3]（3)　と見て、
右辺の　3 を　3 *　log[3]（3)＝log[3]（3^3)＝log[3]（27) と見れば、
log[3]（3)　≦ 　　log[3]x　< 　log[3]（27)
です。関数　ｙ＝log[3]（x）の値は、x　が増加すればするほど大きくなりますから、この式から、
log[3]をはぎ取って、
　　　　3　　≦　　　　x　　< 　 27
がわかります。
ｘの整数解は　　　　3,4,5,6,・・・26
であり、ｘの整数解の個数は、　24 個です。
26 - 3 + 1 または、26 - 2 で求まります。
ＫＥＮＺＯＵさん、横から口出してすみません。

お礼

さらに、質問なのですが、＞26 - 3 + 1 または、26 - 2 で求まります。
はどこでわかるのですか？

補足

こんばんわ。
参考書をみたら合っていました。
疑問なのですが、
＞関数　ｙ＝log[3]（x）の値は、x　が増加すればするほど大きくなりますから、
どうしてこのようなことがわかるのですか？（いえるのですか）

回答No.2

KENZOU

hinebotさんが既に答えられていますが、
＞ヒントをいただいたのでが知識がなくてわかりません
ということなので、まず対数を復習すると。。。
底をａ、真数をｘとする対数をＡとすると
　Ａ＝log[a]ｘ　　(1)
と書かれます。ここで真数ｘは定義によりｘ＞０です。
(1)はまた
　ａ＾Ａ＝ｘ　　　(2)
とも書かれます（←この辺りの事情はテキストに載っているハズ）。
さて、与式を
　ｔ＝log[3](log[3]x)　　(3)
とすると、(3)の対数の底は3、真数はlog[3]ｘとなります。題意より
　0≦ｔ<1　⇒　0≦log[3](log[3]x)<1　(4)
となります。そこで(4)の左側の不等式　0≦log[3](log[3]x)　に(2)を適用すると
　3^0≦log[3]x⇒1≦log[3]x⇒3^1≦x⇒3≦x　(5)
次に(4)の右側の不等式　log[3](log[3]x)＜1　に(2)を適用すると
　log[3]x＜3^1⇒log[3]x＜3⇒x＜3^3⇒x＜27　(6)
(5)と(6)からｘの範囲は
　3≦x＜27　(7)
となりますから、ｘの整数解の個数は3,4,5,6,・・・26の25個となります。

回答No.1

hinebot

(3)は底、最初のlog(3)の真数がlog(3)x ということですよね？

log(3)x = t とおきます。
不等式は
0≦log(3)t＜1
となります。これを満たすt は　
１≦ｔ＜３
あとは、t = log(3)x に戻して、同様に考えましょう。

補足

ヒントをいただいたのでが知識がなくてわかりません。すいません