この問題が解けません

質問

画像の問題の解答方法が分かりません。
解答解説をよろしくお願いします。

回答No.3

info222_

続きです。
問題3.

g(x,y)=x^2+y^2-1=0　... (1)
これは原点(0,0)を中心とし半径1の円なので
x=cos(t),y=sin(t) (-π<t≦π)とおくと(1)の条件は満たされるから
f(x,y)=x^3-y^3 ... (2)
f(cos(t),sin(t))=h(t) ... (3) とおくと
h(t)=(cos(t))^3-(sin(t))^3
の極値を求めればよい。
h'(t)=-3sin(t)cos(t){cos(t)+sin(t)} (-π<t≦π)
h"(t)=-3{(cos(t))^2-(sin(t))^2}{cos(t)+sin(t)}+3sin(t)cos(t){sin(t)-cos(t)}
停留点はh'(t)=0から
　sin(t)=0,cos(t)=0,cos(t)+sin(t)=0
　t=0,π,-π/2,π/2,-π/4,3π/4
(t,x,y)=(t,cos(t),sin(t))より
　(t,x,y)=(0,1,0),(π,-1,0),(-π/2,0,-1),(π/2,0,1),
　　　　　(-π/4,1/√2,-1/√2),(3π/4,-1/√2,1/√2)

以上からf(x,y)の極値点と極値は以下の通り。
h"(-π/２)=-3<0より (x,y)=(0,-1)で極大値f(0,-1)=1をとる。
h"(-π/4)=3/√2>0より (x,y)=(1/√2,-1/√2)で極小値f(1/√2,-1/√2)=1/√2をとる。
h"(0)=-3<0より (x,y)=(1,0)で極大値f(1,0)=1をとる。
h"(π/２)=3>0より (x,y)=(0,1)で極小値f(0,1)=-1をとる。
h"(3π/4)=-3/√2<0より (x,y)=(-1/√2,1/√2)で極大値f(-1/√2,1/√2)=-1/√2をとる。
h"(π)=3>0より (x,y)=(-1,0)で極小値f(-1,0)=-1をとる。
h"(π)=3>0より (x,y)=(1,0)で極小値f(-1,0)=-1をとる。
h"(-π/2)=3>0より (x,y)=(0,-1)で極大値f(0,-1)=1をとる。

回答No.2

info222_

とりあえず
[問題2]
f(X,Y)=x^3-3xy+y^3
fx(x,y)=3(X^2-y)
fy(x,y)=3(y^2-x)
停留点
fx(x,y)=0,fy(x,y)=0より
∴停留点(x,y)=(0,0),(1,1)
極値判別法（参考URL参照）
fxx(x,y)=6x,fxy(x,y)=-3,fyy(x,y)=6y
H(0,0)=fxxfyy-fxy^2[0,0]=-9<0
∴停留点(0,0)は鞍点
極値判別法（参考URL参照）
H(1,1)=fxxfyy-fxy^2(0,0)=27>0.fxx(1,1)=6>0
∴停留点(1,1)で極小値f(1,1)=-1をとる。

参考URL：

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~m03039e/Teach/autumn/yonezawa-1W12-04.pdf

補足

ありがとうございます。
その次の問題はいかがでしょうか・・・

回答No.1

noname#232123

∂f/∂x=3x^2-3y, ∂f/∂y=3y^2-3x,

∂^2f/∂x^2=6x, ∂^2f/(∂x∂y)=-3, ∂^2f/∂y^2=6y.

∂f/∂x=∂f/∂y=0 より、(x, y)=(0, 0), (1, 1).
この２点の極値候補に対し、{∂^2f/(∂x∂y)}^2 - {∂^2f/∂x^2}*{∂^2f/∂y^2} を計算します。
(x, y)=(0, 0) のとき、∂^2f/∂x^2=0,
{∂^2f/(∂x∂y)}^2 - {∂^2f/∂x^2}*{∂^2f/∂y^2}=9,
この点は極値を与えない。

(x, y)=(1, 1) のとき、∂^2f/∂x^2=6>0,
{∂^2f/(∂x∂y)}^2 - {∂^2f/∂x^2}*{∂^2f/∂y^2}=-27<0.
よって、この点は極小値を与える。

補足

ありがとうございます。
その次の問題はいかがでしょうか・・・