数III 極限 無限級数

質問

問題集でわからないところがあります。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

....を利用して」というところがわからないけど、要は答えを出せばよい

S=Σ(n=1,∞)nr^(n-1)型の問題はrSを作ってS-rSを計算するとよい。

rS=Σ(n=1,∞)nr^(n)=Σ(n=2,∞)(n-1)r^(n-1)

S-rS=1+r+r^2+.....=lim(n→∞)(1-r^n)/(1-r)=1/(1-r)

S=1/(1-r)^2

(1)S=1+2/2+3/2^2+4/2^3+5/2^5+.....
r=1/2

S=4

(2)S=1-3/3+5/3^2-7/3^3+9/3^4+.....=Σ(n=1,∞)(2n-1)(-1/3)^(n-1)

r=-1/3

=Σ(n=1,∞)(2n-1)r^(n-1)=2Σ(n=1,∞)nr^(n-1)-Σ(n=1,∞)r^n

=2/(1-r)^2-1/(1-r)=3/8