数III 極限 無限級数

質問

数学の問題集でわからないのがあります。
３問とも一般項Aｎがわかりません。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

(3)S=Σ(n=1,∞)(-1/3)^n*sin(nπ/2)

nが偶数でsin(nπ/2)＝0,nが奇数で1,-1という具合に場合分けして解くとができるがここでは以下のように行う。

C=Σ(n=1,∞)(-1/3)^n*cos(nπ/2)として

T=C+iSを求める。iは虚数単位

T=Σ(n=1,∞)(-1/3)^n*[cos(nπ/2)+isin(nπ/2)]=Σ(n=1,∞)(-1/3)^n*e^(inπ/2)

=Σ(n=1,∞)[-e^(iπ/2)/3]^n

これは-e^(iπ/2)/3を公比とする等比級数

T=lim(n→∞)[-e^(iπ/2)/3]{1-[-e^(iπ/2)/3]^n}/[1+e^(iπ/2)/3]

公比=r=-e^(iπ/2)/3は|r|=1/3<1

|[-e^(iπ/2)/3]^n|<(1/3)^nはlim(n→∞)で0,よって

T=[-e^(iπ/2)/3]{1}/[1+e^(iπ/2)/3]

e^(iπ/2)=(cos(π/2)+isin(π/2)=i

T=(-i/3)/(1+i/3)=-i/(3+i)=-i(3-i)/(3+i)(3-i)=(-1-3i)/10

SはTの虚数成分なのでS=-3/10

補足

ありがとうございます。ちなみに、sin(nπ/2)＝0,sin(nπ/2)＝±1　の場合分けの方法も教えていただけると助かります。

回答No.1

spring135

(1),(2)は等比級数の和を用います。

(1)Σ(n=1,∞)[1/3^n+1/4^n]=lim(N→∞)Σ(n=1,N)[1/3^n+1/4^n]

=lim(N→∞)Σ(n=1,N)[1/3^n]+lim(N→∞)Σ(n=1,N)[1/4^n]

=lim(N→∞)(1/3)[(1-(1/3)^N]/(1-1/3)+lim(N→∞)(1/4)[(1-(1/4)^N]/(1-1/4)

=(1/3)[1]/(1-1/3)+(1/4)[1]/(1-1/4)=1/2+1/3=5/6

(2)Σ(n=1,∞)[(2^n-1)/5^n]

=lim(N→∞)Σ(n=1,N)(2/5)^n-lim(N→∞)Σ(n=1,N)(1/5)^n

=lim(N→∞)(2/5)[1-(2/5)^N/(1-2/5)]-lim(N→∞)[(1/5)[1-(1/5)^N]/(1-1/5)

=(2/5)[1](5/3)-(1/5)[1](5/4)=2/3-1/4=5/12

お礼

ありがとうございます！
やっと理解出来ました！