数列の一般項と極限

質問

数学の問でよくわからない問題があります。

数列の一般項と極限値を求める問題なのですが回答に困ってしまったため皆さんの力を貸していただけると助かります。

Q. 次の数列の一般項と極限を求めよ

0.8, 0.88, 0.888, 0.8888, 0.88888, …

このような問題です。

できれば解説もしていただけると助かります。

回答No.2

noname#175206 · ベストアンサー

a1から始まる数列として、小数点以下に1個ずつ8が増えて行ってますね。すると以下のような数列でしょう。

（a0＝0）
a1＝0＋8×10^(-1)＝0.8
a2＝a1＋8×10^(-2)＝0.88
a3＝a2＋8×10^(-3)＝0.888
a4＝a3＋8×10^(-4)＝0.8888
……
an＝a(n-1)＋8×10^(-n)＝0.8888…8　←小数点以下にn個の8

なんでしょうね。

　数列として解く方法はあるのでしょうけど、n→∞の極限では、要は循環小数0.8888…ですから、それをxと置いて、

　10x＝8.8888…
－　x＝0.8888…
―――――――――
　9x＝8

∴x＝8/9

お礼

ふむふむなるほど。
丁寧な回答ありがとうございました!参考にさせていただきます!

回答No.1

Tacosan

数学的に厳密に言うなら「一意には決まらない」としか....

極限を求めるには一般項が必要なんだけど, 「一般項」ってようするに「この『…』がどうなっているか」ということなんだね. で, そんなもの分かるわけがない. もちろん問題製作者が十分素直な心で問題を作っているなら「こうだろう」と推測することはできるけど, それはあくまで「推測」であって「その通りである」ということをこの問題から確信することは不可能.

問題製作者が
5項目まではこの通り, 6項目以降は全部 1
という数列を考えていないなんて, どこにも保証されてないよね.

お礼

うむむ、なかなか難しいです…、いろんな意味で
回答ありがとうございました。