数学の、関数の増減・極値の問題です

質問

３次関数ｆ(ｘ)＝ｘ³＋ｋｘ²＋（ｋ＋１）ｘは、ｘ＝αのとき最大値、ｘ＝βのとき最小値をとる。ｆ(β)ーｆ(α)＝－４/27のとき、ｋの値を求めなさい。（解き方もよろしくお願いします）

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

３次関数ｆ(ｘ)=ｘ³＋ｋｘ²＋（ｋ＋１）x
は
x→∞でf(x)→∞、
x→-∞でf(x)→-∞
なので、有限な最大値、最小値を持ちません。

したがって
>ｘ＝αのとき最大値、ｘ＝βのとき最小値をとる。

の最大値、最小値はそれぞれ極大値、極小値の間違いでしょう。

そうだとして解答します。
ｆ(ｘ)=ｘ³＋ｋｘ²＋（ｋ＋１)x
ｆ'(ｘ)=3ｘ²＋2ｋｘ＋ｋ＋１
α, β (α<β) は ｆ'(ｘ)=0の２つの解であるから
２次方程式の解と係数の関係から
α+β=-2k/3, αβ=(k+1)/3
β-α=√{(α+β)²-4αβ}=√{(4/9)k²-(4/3)(k+1)}
=(2/3)√(k²-3k-3)

f(α)=α³＋kα²＋(ｋ＋１)α, f(β)=β³＋kβ²＋(ｋ＋１)β
f(β)-f(α)=β³-α³+k(β²-α²)+(k+1)(β-α)
=(β-α){(α+β)²-αβ+k(α+β)+k+1}
=(β-α){(4/9)k²-(1/3)(k+1)-(2/3)k²+k+1}
=(2/3)(2/9)(-k²+3k+3)√(k²-3k-3)
=-(4/27)(k²-3k-3)^(3/2)
=-4/27
∴(k²-3k-3)^(3/2)=1

k²-3k-3=1
k²-3k-4=0
(k-4)(k+1)=0
∴ k=4, -1 ...(答)

お礼

最大値、最小値は極大値、極小値の間違いです。β―α＝２/３√（k²－３k-３）まで出したのですが、その使い方が判りませんでした。どうも有難うございました。

回答No.2

kmee

通常、3次関数には「最大値」「最小値」は無いのですが。
語弊のある言い方ですが x→∞のときのf(x)→∞が最大値、x→-∞のときのf(x)→-∞が最小値です。
xの範囲(定義域)が有限ならば、その範囲での最大/最小はありますが。

「極大値」「極小値」ではないですか?

「極値を求める」と言えば、微分して...です。
おそらく、
　α= kを使った式1、β= kを使った式2
となるので、それを f(β)-f(α)＝-4/27 に代入して、kの方程式を解けば終わりです。

先に f(β)-f(α)＝-4/27 を展開して、(β-α)=γ として変形しておくと、後の計算が楽かもしれません。

お礼

最大値、最小値は極大値、極小値の間違いでした。どうも有り難うございました。