積分の問題

質問

∫（R^2＋ｘ^2）^3/2ｄｘの積分はどうなりますか？
（Rの2乗＋ｘの2乗）の2分の3乗の積分です。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

＞入力の都合でRをrと書き、最後にRに戻します。
t=√(r^2+x^2)+xとおくと
t-x=√(r^2+x^2)
t^2-2xt+x^2=r^2+x^2
x=(t^2-r^2)/(2t)
dx/dt={2t(2t)-2(t^2-r^2)}/(4t^2)
=(t^2+r^2)/(2t^2)
r^2+x^2=r^2+(t^2-r^2)^2/(4t^2)
=(t^2+r^2)^2/(4t^2)
∫(r^2+x^2)^(3/2)dx
=∫{(t^2+r^2)^2/(4t^2)}^(3/2){(t^2+r^2)/(2t^2)}dt
=∫{(t^2+r^2)^3/(2t)^3}{(t^2+r^2)/(2t^2)}dt
=∫(t^2+r^2)^4/(16t^5)dt
=∫(t^8+4r^2t^6+6r^4t^4+4r^6t^2+r^8)/(16t^5)dt
=(1/16)∫t^3dt+(r^2/4)∫tdt+(3r^4/8)∫1/tdt+(r^6/4)∫1/t^3dt+(r^8/16)∫1/t^5dt
=(1/16)(1/4)t^4+(r^2/4)(1/2)t^2+(3r^4/8)log|t|+(r^6/4)*(-1/2)(1/t^2)+(r^8/16)*(-1/4)(1/t^4)
=(1/64)t^4+(r^2/8)t^2+(3r^4/8)log|t|-(r^6/8)(1/t^2)-(r^8/64)(1/t^4)+C(定数)
t=√(r^2+x^2)+x
t^2=r^2+2x^2+2x√(r^2+x^2)=r^2+2x{x+√(r^2+x^2)}
t^4=[r^2+2x{x+√(r^2+x^2)}]^2=r^4+4r^2x{x+√(r^2+x^2)}+4x^2{x+√(r^2+x^2)}^2
=8x^4+8r^2x^2+r^4+4x(r^2+2x^2)√(r^2+x^2)
1/t^2=1/{(r^2+2x^2)+2x√(r^2+x^2)}
={(r^2+2x^2)-2x√(r^2+x^2)}/[{(r^2+2x^2)+2x√(r^2+x^2)}{(r^2+2x^2)-2x√(r^2+x^2)}]
={(r^2+2x^2)-2x√(r^2+x^2)}/r^4
1/t^4=(1/t^2)^2={(r^2+2x^2)-2x√(r^2+x^2)}^2/r^8
={(r^2+2x^2)^2-4x(r^2+2x^2)√(r^2+x^2)+4x^2(r^2+x^2)}/r^8
={r^4+8r^2x^2+8x^4-4x(r^2+2x^2)√(r^2+x^2)}/r^8
でtをxに戻すと
∫(r^2+x^2)^(3/2)dx=(1/64){8x^4+8r^2x^2+r^4+4x(r^2+2x^2)√(r^2+x^2)}
+(r^2/8){r^2+2x^2+2x√(r^2+x^2)}+(3r^4/8)log|√(r^2+x^2)+x|
-(r^6/8)[{(r^2+2x^2)-2x√(r^2+x^2)}/r^4]-(r^8/64)[{r^4+8r^2x^2+8x^4-4x(r^2+2x^2)√(r^2+x^2)}/r^8]+C(定数)
=(1/64){8x^4+8r^2x^2+r^4+4x(r^2+2x^2)√(r^2+x^2)}
+(r^2/8){r^2+2x^2+2x√(r^2+x^2)}+(3r^4/8)log|√(r^2+x^2)+x|
-(r^2/8){(r^2+2x^2)-2x√(r^2+x^2)}-(1/64){r^4+8r^2x^2+8x^4-4x(r^2+2x^2)√(r^2+x^2)}+C(定数)
=(1/8){4r^2x√(r^2+x^2)+x(r^2+2x^2)√(r^2+x^2)}+(3r^4/8)log|√(r^2+x^2)+x|+C(定数)
=(1/8)(5r^2x+2x^3)√(r^2+x^2)}+(3r^4/8)log|√(r^2+x^2)+x|+C(定数)
rをRに書き直して
∫（R^2＋ｘ^2）^3/2ｄｘ
=(1/8)(5R^2x+2x^3)√(R^2+x^2)}+(3R^4/8)log|√(R^2+x^2)+x|+C(定数)・・・答

確認のため答を微分すると
(1/8)(5R^2+6x^2)√(R^2+x^2)+(1/8)(5R^2x+2x^3)(1/2)2x{1/√(R^2+x^2)}+(3R^4/8)[1/{√(R^2+x^2)+x}][1+(1/2)(2x){1/√(R^2+x^2)}]
=(1/8){1/√(R^2+x^2)}{(5R^2+6x^2)(R^2+x^2)+(5R^2x^2+2x^4)+(3R^4)}
=(1/8){1/√(R^2+x^2)}(5R^4+5R^2x^2+6R^2x^2+6x^4+5R^2x^2+2x^4+3R^4)
=(1/8){1/√(R^2+x^2)}(8R^4+16R^2x^2+8x^4)
={1/√(R^2+x^2)}(R^4+2R^2x^2+x^4)
={1/√(R^2+x^2)}(R^2+x^2)^2=(R^2+x^2)^(3/2)で被積分関数になる。

回答No.1

info222_

Ｒ>０とします。

積分は以下のようになります。
I=∫（R^2+x^2)^(3/2)ｄx
=(x/8)(5R^2+2x^2)√(R^2+x^2)+(3/8)(R^4)log(|x+√(R^2+x^2)|))+C
or
=(x/8)(5R^2+2x^2)√(R^2+x^2)+(3/8)(R^4)sinh^-1(x/R)+C
（Ｃは任意定数）