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生産の入った交換経済の価格比について
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こんどは問題の設定がよくわかりました。この問題は最近質問があったこの問題（↓） http://okwave.jp/qa/q8818084.html と同じように解けば良い。 まず企業１の利潤最大化問題を解き、企業１の（最大化された）利潤を求める。企業１の利潤をΠ1と書くと (1) Π1 = P2Y2 - P1Y1 = P2・2Y1^1/2 - P1Y1 Π1をY1で最大化するため、両辺をY1で微分して０とおくと 0 = dΠ1/dY1 = p2・Y1^(-1/1) - P1 よって、 (2) Y1=(P2/P1)^2 となるが、これが企業１の財１の需要量（投入量）だ。企業２も同様に企業２の利潤を投入量Y1を選択することで最大化する。 (3) Π2 = P1Y1 - P2Y2 = P1・2Y2^1/2 - P2Y2 よって上と同じようにして企業２の財２の需要量（投入量）は (4) Y2 = (P1/P2)^2 となる。よって、企業１の利潤は(2)を（１）へ代入して Π1 = P2^2/P1 となる（確かめよ！） 同様に企業２の利潤は(4)を(3)に代入することで Π2 = P1^2/P2 となる。 企業１と企業２の利潤が求められたので、つぎは消費者１と２の財１と財２への需要量を求める。 消費者１と消費者２の財１への需要量は消費者１の所得がM1、消費者２の所得がM2だすると、予算制約のもとでの効用最大化より、それぞれ M1/2P1 M2/2P2 となることを確かめなさい。ところが、消費者１と消費者２の所得は初期保有の価値プラス自分が所有する企業からの利潤配当からなるから、 M1 = 100P1 + P2^2/P1 M2 = 100P2 + P1^2/P2 よって消費者１と２の財１への需要合計は (5) M1/2P1 + M2/2P1 = 50 +(1/2) (P2/P1)^2 + 50(P2/P1) + (1/2)/(P2/P1) である。したがって、財１への需要は財１の消費者需要と企業１の財１投入量の合計は(2)と(5)の和からなるから (6) 50 + (3/2)(P2/P1)^2 + 50(P2/P1) + (1/2)/(P2/P1) である。一方財１の供給は消費者１の初期保有100と企業２の財１の生産量Y1からなる。後者は(4)を企業２の生産関数に代入して 2[(P2/P1)^2]^1/2 = 2P2/P1 であるから、財１の供給全体は (7) 100 + 2(P2/P1) である。財１の市場の均衡は需要と供給が等しい(6)=(7)のとき達成されるので (8) 50 + (3/2)(P2/P1)^2 + 50(P2/P1) + (1/2)/(P2/P1) = 100 + 2(P2/P1) (8)をP2/P1について解けばよい。両辺にP2/P1を掛ければわかるように(8)はP2/P１についての３次方程式になります。計算に間違いがないか確かめてください。
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- statecollege
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回答２で、３次方程式を解く必要が出てきましたが、３次方程式など解けないという苦情が出そうです。３次方程式は「特殊」な場合を除いて解けませんが、この場合は「特殊の場合」なので解けるのです。回答２の最後の式において簡単化のためP1/P2=xと置きましょう。すると、 50 + 3/2x^2 + 50x +1/2x = 100 + 2x となる。両辺に2xを掛けて、整理すると 3x^3 + 96x^2 - 100x + 1 = 0 左辺をf(x)とおくと f(1) = 3 + 96 - 100 + 1 = 0 となり、因数定理（高校の数学を思い出すこと）によって、f(x)はx-1で因数分解できて、 f(x) = (x-1)(3x^2 + 99x - 1) となる。よって、f(x) = 0の解の一つはx=1だが、3x^2 +99x -1 =0が正の解を持つならそれも均衡解である。チェックしよう。3x^2 +99x - 1 = 0は２次方程式だから、解の公式を用いて x = [-99±√(99^2 +12)]/6 = [-99±√9813 ]/6 となり、大きい方の解は正だから、これも均衡解である。よって、均衡価格比は p2/P1 = 1, -16.5 + (√9813)/6 の２つである、ということになる。ちなみに後者の近似値は0.01である。
- statecollege
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きちんと問題の設定と仮定を書かないとなんのことかさっぱりわからない。 あなたが書いているところを見ても、第１財の需要量と第２財の需要量をなぜ単純に合計することができるのか？たとえば第１財がりんごで、第２財がミカンなら、りんご１個とミカン３個を合計して４個という数字に意味があるのだろうか？
補足
すいません><捕捉させていただきました。 消費者1 U(x1、x2)=x1^1/2x2^1/2 初期保有(w1、w2)=(100,0) 消費者2 U(x1、x2)=x1^1/2x2^1/2 初期保有 (w1、w2)=(0,100) 企業1 y2=2(y1)^1/2(第1財を投入して第2財を生産) 企業2 y1=2(y2)^1/2(第2材を投入して第1財を生産) また、企業1は消費者1が、企業2は消費者2がすべての株式を所有しているものとする 企業が一つの問題の場合は「第1財を投入して第2財を生産」のみなので、需給一致を考えて右辺の投入量だけをマイナスしていたのですが、複数の場合は単純に上記のような考え方でよいのでしょうか？
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お礼
丁寧に解説していただいてありがとうございました！ ちゃんと解けそうです。