統計・確率に関する質問です

質問

「X1～X2～…～N(μ,σ^2)で独立のとき、lim(n→∞) (X1+X2+…+Xn)/(X1^2+X2^2+…+Xn^2) を求めよ」
という問題の解き方が分かりません。

どなたかご教授ください。どうぞよろしくお願いします。

回答No.4

noname#227064 · ベストアンサー

> これは大学院入試の過去問ですので、出題者には確認できないんです…。

そうでしたか。
それと各Xiは連続分布である正規分布に従うので、連続分布の分散の定義を思い出してください。

以下は
(X1+X2+…+Xn)/(X1^2+X2^2+…+Xn^2)
が確率収束するかどうかという問題として回答します。

標本平均を
m = ΣXi/n
標本分散を
s^2 = Σ(Xi-M)^2/n
と表記すると、
(X1+X2+…+Xn)/(X1^2+X2^2+…+Xn^2) = m/(s^2+m^2)
となります。

X1,X2,...は独立に正規分布N(μ,σ^2)に従うことから、mはN(μ,σ^2/n)、ns^2/σ^2は自由度n-1のカイ二乗分布に従います。
チェビシェフの不等式より任意の正数εに対して、
Pr(|m-μ| ≧ ε) ≦ σ^2/(nε^2)
Pr(|s^2-σ^2| ≧ ε) ≦ 2(n-1)σ^4/(nε)^2
が成り立ち、これらのn→∞の極限をとることでm,s^2がそれぞれμ,σ^2に確率収束することがわかります。
lim Pr(|m-μ| ≧ ε) = 0
lim Pr(|s^2-σ^2| ≧ ε) = 0
従って、s^2+m^2はσ^2+μ^2に確率収束し、σ^2+μ^2 > 0であることから、
plim (X1+X2+…+Xn)/(X1^2+X2^2+…+Xn^2) = μ/(σ^2+μ^2)
が成り立つ。

注意：
確率変数X,Yがx,yに確率収束するならば、X+Yはx+yに、XYはxyに確率収束します。
また、y≠0ならばX/Yはx/yに確率収束します。

回答No.5

noname#227064

#4に間抜けな間違いがありましたので訂正します。

> Pr(|s^2-σ^2| ≧ ε) ≦ 2(n-1)σ^4/(nε)^2

ではなく、

Pr(|s^2-σ^2| ≧ ε) = Pr(|s^2-σ^2|^2 ≧ ε^2)
= Pr((s^2-σ^2)^2 ≧ ε^2)
≦ E[(s^2-σ^2)^2]/ε^2
= (σ^4/n^2) E[(ns^2/σ^2-n)^2]/ε^2
= (σ^4/n^2) E[(ns^2/σ^2-(n-1))^2-(ns^2/σ^2-(n-1))+1)]/ε^2
= (σ^4/n^2)(2(n-1)+1)/ε^2
= (2-1/n)σ^4/(nε^2)

でした。

お礼

わざわざ訂正して頂きありがとうございます。

なるほど。やっと理解出来ました！！
m,s^2がそれぞれμ,σ^2に確率収束することを証明する辺りがなかなか難しいですね…

ご丁寧に何度も回答して頂き、本当に助かりました。ありがとうございました！！

回答No.3

noname#227064

> そもそもこのX1、X2、…は確率変数ではなくて、ある母集団から取り出した標本で、その母集団がN(μ, σ^2)に従うという解釈で良いのでしょうか？

「X1～X2～…～N(μ,σ^2)」というのもよくわからない書き方ですが、多分、確率変数でしょうね。
それで、limはどういう意味で使われているのでしょうか？
出題者には確認してみましたか？

補足

再度回答頂き本当にありがとうございます。
X1、X2、…が独立と言っているので、確かにXが標本はおかしいですね。

これは大学院入試の過去問ですので、出題者には確認できないんです…。

ちなみに、No.1のspring135様の回答の(1)式の証明の部分で「定義よりσ^2=(1/n)Σ(Xi-μ)^2」とありますが、これはσ^2の定義なのでしょうか？参考書などには普通「σ^2=Σ(Xi-μ)^2・P」と書かれていますよね？！
P=1/n としてΣの前に持ってきたのでしょうか？

回答No.2

noname#227064

limが確率収束を意味するのであれば良いのですが、そうでなければ、
lim(n→∞)(X1+X2+…+Xn)/(X1^2+X2^2+…+Xn^2)=μ/(μ^2+σ^2)
は成り立たないのでは？

補足

回答ありがとうございます。
No.1の回答にも補足させていただきましたが、そもそもこのX1、X2、…は確率変数ではなくて、ある母集団から取り出した標本で、その母集団がN(μ, σ^2)に従うという解釈で良いのでしょうか？

回答No.1

spring135

R=lim(n→∞)(X1+X2+…+Xn)/(X1^2+X2^2+…+Xn^2)

=lim(n→∞)[(X1+X2+…+Xn)/n]/lim(n→∞)[([(X1^2+X2^2+…+Xn^2)/n]

lim(n→∞)[(X1+X2+…+Xn)/n]=μ

lim(n→∞)[([(X1^2+X2^2+…+Xn^2)/n]=μ^2+σ^2 (1)(証明は下記）

⇒　R=μ/(μ^2+σ^2)

(1)定義より

σ^2=(1/n)Σ(Xi-μ)^2=(1/n)ΣXi^2-μ^2

⇒ (1/n)ΣXi^2=σ^2+μ^2

補足

解答ありがとうございます。

そもそもこのX1、X2、…は確率変数ではなくて、ある母集団から取り出した標本で、その母集団がN(μ, σ^2)に従うという解釈で良いでしょうか？
そう捉えるとspring135様の解答は理解できそうなのですが、恥ずかしながら解法以前にまずその前提部分が曖昧です…