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高校数学の勾配に関する問題の別解について
think2ndの回答
- think2nd
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「まず図を見て東、北方向が長方形CDEFとずれているのですが」という疑問が、この別解の本質であり、アイデアではないでしょうか。 解法の発想の解説をすると深みに入りまた疑問を作り、長くなりますから、避けるため添付画像で説明します。しかし、これもまた疑問を生み出します。そこを別解は普通に乗り越えてます。だからすごいです。 さて 貴方は次のことを知っているものとして話します。 1 相似とは何か。を知っている。また2つの直角三角形が相似ならば、それを証明できる。 2 比とは何か。を知っている。またa:b=c:dという関係式を作ることができる。しかもa/b=c/d とも表せる。 (クイズ 2/3は何分(なんぶん)の1でしょうか。) 3 三平方の定理を使える。 4 問題に没頭できる自分を知っている。 "今南北方向の勾配を図ったところ1/5であった、"を突破口にしてFが決定されて図を書い てみました。下の添付画像です。 点Hは直線ABと点Oとの最少距離にある点です。・・・※ このとき最大の勾配になる。 [ くどく言うと、直線AB上にあるどんな点でも(仮にPとすると)点Oと点Pとの距離が短ければ短いほど点Pの1だけ頭上のFE上の点をたとえばP'とすると、直線PP'の勾配は大きくなる。OPが最少になるのは OPがABと垂直になるときでその点をHとした。このとき直線OGの勾配が最大になる。だから、OH=3となる。] さて 話は戻って 勾配が比ですからBF=HG=AE=1です。もちろんこれら3本の辺は A,O,Bを含む平面に垂直です。 ⊿OABに着眼点を移します。なぜなら、欲しいのはaの値だからです。なおこの三角形が直角三角形であることは前に説明したとおりです。 ここで⊿OHBと⊿AHOが相似になります。・・・(1) (∠BOHと∠BAOが等しいことは⊿BOHと⊿BOAに着目すれはわかるでしょう) (1)を証明してください。 あとは三平方の定理と比を利用してaが求まります。 以上ですが。 以上までの話を読んで、から別解に、チャレンジすると、解法の裏が見えてくるように思えましたので 一応返信いたします。
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お礼
御返答有難うございます、理解するまで少し時間がかかりそうですが、疑問点が沸いたら補足に質問させていただきますね
補足
>短ければ短いほど点Pの1だけ頭上のFE上の点をたとえばP'とする >と、直線PP'の勾配は大きくなる これはP以外のAB上の点だとOとの距離が3より大きくなってしまって勾配は1/3より小さくなるからですよね？ ＞(1)を証明してください。 OHは共通辺、∠BHO=∠AHO=90°ここから分かりません