数直線 含む含まないがわかりません

質問

一つ目の問題は

a-3<=x<6
これを満たす整数xがちょうど2個あるとき、その値は
x=4, 5であるから, a-3が満たす条件は
3<a-3<=4

こちらの問題の数直線では3を含まず4を含んでいます。

もう一つの問題では

-2<=x<a+2
これを満たす整数xがちょうど3個あるとき、その値は
x=-2, -1, 0 であるから, a+2 が満たす条件は
0<a+2<=1

２つ目の問題では数直線で0を含まず1を含んでいます。

２つの問題を比べると
一つ目の問題はxの値を含み、もう一つの値を含んでいません。
二つ目の問題はxの値を含まず、もう一つの値を含んでいます。

この違いが全くわからないです。
本当に些細なことですが親切な方がいましたら違いを教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

noname#212313 · ベストアンサー

おバカの#1、2です。まだ間違えてるしorz。「xとしては「5、6」の二つだけがOKにならないといけない。」じゃないだろっ、4と5だろ！＞自分orz

　すみません。全部書き直します。説明も少し足します。

――――――――――――
　もしPCを使っていれば、「＜」を変換すると「≦」が出て来ます。以下、それで書き直しますね（私がそれで慣れているため、なお「＞」から「≧」も出せる）。

>a-3≦x＜6
>これを満たす整数xがちょうど2個あるとき、

　ここでまず考えてみます。右側の不等式は「x＜6」です。そして確かに分かっている数字は最右辺の6です。xが6でもいいのか。いやいや、x＝6だと「6＜6」になってしまう。6が6より小さいなんてことは数学ではあり得ない。

　整数で大丈夫なのは5で、これが一番大きい。整数が2個あるんだから、それより1少ない4もあり得るはず。しかし、さらに1減らして3も満たしてしまうと3個あることになって、題意に合わない。だから、

　x＝4, 5

です。

　左側の不等式は「a-3≦x」です。xとしては「4、5」の二つだけがOKにならないといけない。そのようにxを制限してくれるとしたら、それはこの左側の不等式のはずです。設問にはaが整数だとは書いていません。小数や分数でもいいのでしょう。

　まず4を許すにはどうしたらいいか。x＝4と置いて見て、それで成り立てばいいですね。

　a-3≦4　―(1)

　5を許すというのは、a-3≦5ですけど、(1)より緩い条件ですから、(1)だけで大丈夫です。

　3を許してはいけないのはどう考えたらいいか。ちょっと分からないので、とりあえずx＝3と置いて見ます。

　a-3≦3　―(2)

　これが成り立ってしまうと、xは3でもOKになってしまい、3個（かそれ以上）になってしまいます。だから成り立ってはいけない。数直線で(2)がどういう状態なのか考えてみましょう。a-3の数直線だとします。

　整数で(2)が成り立つものは[2]のようにカッコ付きにし、整数の間で(2)が成り立っているものは二重線＝、成り立たないものは細い横線―にしてみます。

…＝[0]＝[1]＝[2]＝[3]―4―5―…　←(2)の表す状況

　これだとxが3個になってマズいわけですから、これと逆の状況を考えればいいわけです。それを同じように書いてみます。

…―0―1―2―3―[4]＝[5]＝…　←(2)を否定した状況

　ここで難しいのが「3―[4]」のところです。3と4の間のどこで区切ればいいのか。これは「[3]―4」をぎりぎりで回避させたいのです。3がぎりぎり入らないということになります。

　3より少しでも大きければいい。それを表すのが「3＜」です。「3≦」だと3も含んでしまいます。だから「3＜」なのです。a-3もちゃんと書けば、

　3＜a-3　―(3)

です。(1)と(3)を二つ並べて書いてみます。

　a-3≦4　―(1)
　3＜a-3　―(3)

　この(1)と(3)が同時に成り立っていないといけないわけですね。不等号の向きに注意して、3つの項がある不等式に書けば、

　3＜a-3≦4　―(4)

ということになります。たとえばa-3が3より少しでも大きい、例えば3.01だったら（a＝6.01）、設問の「a-3≦x＜6」は、「3.01≦x＜6」となり、xは4と5だけです。a-3を3にすると、xは途端に3, 4, 5があり得てしまい、3個になってしまいます。どうやら、これでよさそうです。

>-2≦x＜a+2
>これを満たす整数xがちょうど3個あるとき、その値は

　今度は最左辺は数だけです。こちらを頼りにして始めてみます。左側の不等式だけ書きだしてみます。

　-2≦x　―(5)

　xは-2であってもいいわけですね。-2と、それより大きい整数が3個。ということは、-2, -1, 0の3個となります。

　x＝-2, -1, 0

　そして1は許してはいけないわけです。0は許して1を許さないようにするものがあるとすれば、それは右側の不等式のはずです。右側の不等式だけ書きだしてみます。

　x＜a+2　―(6)

x＝0で成り立つのですから、

　0＜a+2　―(7)

となります。x＝-1, -2としてみるのは、(7)よりゆるい条件になりますから、(7)だけでいいでしょう。

　やはり問題は「x＝1で成り立ってはいけない」になります。そこでまず、1でもOKだとどういう不等式なのか、書いてみます。

　1＜a+2　―(8)

　これが表すa+2の数直線は次のようになります。

…[-2]＝[-1]＝[0]―1―2―…　←(8)の表す状況

　こうでない数直線はやはりあべこべにすればいいです。

…-2―-1―0―[1]＝[2]＝…　←(8)を否定した状況

　やはり考えなければいけないのは「0―[1]」の部分です。これは「[0]―1」をぎりぎりで回避したいのです。

　(8)をもう一度眺めてみると、a+2は1.01でも成り立ちます。a+2が1になった途端、成り立たなくなる。1より少しでも大きければ(8)は成り立つ。そして、(8)は成り立ってはいけない不等式なのでした。

　ですから、1でもいいし、1より小さくてもいい。だけど、1より少しでも大きかったら駄目だ。それを表すのが「≦1」です。「＜1」だと1が含まれません。だから「≦1」なのです。a+2もちゃんと書けば、

　a+2≦1　―(9)

となります。

　(7)と(8)を並べて書きだしてみます。

　0＜a+2　―(7)
　a+2≦1　―(9)

　これを三つの項の不等式で書けば、

　0＜a+2≦1　―(10)

ということになります。

P.S.

　結果だけから考えると、

・「＜」ではないということは「≧」だということ。
・「≦」ではないということは「＞」だということ。
・「＞」ではないということは「≦」だということ。
・「≧」ではないということは「＜」だということ。

となります。余裕があれば、これらを数直線で考えてみてください。今後、必ず役に立ちます。

お礼

何度か読んでやっとわかりました！
xの共通範囲がカギだったとは。今後は間違えずに済みそうです。
わかりやすい長文本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#212313

#1です。最後のところ、間違えてしまいました。

正>・「＜」ではないということは「≧」だということ。
正>・「≦」ではないということは「＞」だということ。
誤>・「＞」ではないということは「≦」だということ。
誤>・「＞」ではないということは「≦」だということ。

　3つ目と4つ目が同じになってしまいました。以下のように訂正して、お詫びします。

正>・「＜」ではないということは「≧」だということ。
正>・「≦」ではないということは「＞」だということ。
正>・「＞」ではないということは「≦」だということ。
正>・「≧」ではないということは「＞」だということ。

　大変申し訳ありません。

回答No.1

noname#212313

もしPCを使っていれば、「＜」を変換すると「≦」が出て来ます。以下、それで書き直しますね（私がそれで慣れているため、なお「＞」から「≧」も出せる）。

>a-3≦x＜6
>これを満たす整数xがちょうど2個あるとき、

　ここでまず考えてみます。右側の不等式は「x＜6」です。そして確かに分かっている数字は最右辺の6です。xが6でもいいのか。いやいや、x＝6だと「6＜6」になってしまう。6が6より小さいなんてことは数学ではあり得ない。

　整数で大丈夫なのは5で、これが一番大きい。整数が2個あるんだから、それより1少ない4もあり得るはず。しかし、さらに1減らして3も満たしてしまうと3個あることになって、題意に合わない。だから、

　x＝4, 5

です。

　左側の不等式は「a-3≦x」です。xとしては「5、6」の二つだけがOKにならないといけない。そのようにxを制限してくれるとしたら、それはこの左側の不等式のはずです。設問にはaが整数だとは書いていません。小数や分数でもいいのでしょう。

　まず4を許すにはどうしたらいいか。x＝4と置いて見て、それで成り立てばいいですね。

　a-3≦4　―(1)

　3を許してはいけないのはどう考えたらいいか。ちょっと分からないので、とりあえずx＝3と置いて見ます。

　a-3≦3　―(2)

　これが成り立ってしまうと、xは3でもOKになってしまい、3個（かそれ以上）になってしまいます。だから成り立ってはいけない。数直線で(2)がどういう状態なのか考えてみましょう。a-3の数直線だとします。

　整数で(2)が成り立つものは[2]のようにカッコ付きにし、整数の間で(2)が成り立っているものは二重線＝、成り立たないものは細い横線―にしてみます。

…＝[0]＝[1]＝[2]＝[3]―4―5―…　←(2)の表す状況

　これだとxが3個になってマズいわけですから、これと逆の状況を考えればいいわけです。それを同じように書いてみます。

…―0―1―2―3―[4]＝[5]＝…　←(2)を否定した状況

　ここで難しいのが「3―[4]」のところです。3と4の間のどこで区切ればいいのか。これは「[3]―4」をぎりぎりで回避させたいのです。3がぎりぎり入らないということになります。

　3より少しでも大きければいい。それを表すのが「3＜」です。「3≦」だと3も含んでしまいます。だから「3＜」なのです。a-3もちゃんと書けば、

　3＜a-3　―(3)

です。(1)と(3)を二つ並べて書いてみます。

　a-3≦4　―(1)
　3＜a-3　―(3)

　この(1)と(3)が同時に成り立っていないといけないわけですね。不等号の向きに注意して、3つの項がある不等式に書けば、

　3＜a-3≦4　―(4)

ということになります。たとえばa-3が3より少しでも大きい、例えば3.01だったら（a＝6.01）、設問の「a-3≦x＜6」は、「3.01≦x＜6」となり、xは4と5だけです。a-3を3にすると、xは途端に3, 4, 5があり得てしまい、3個になってしまいます。どうやら、これでよさそうです。

>-2≦x＜a+2
>これを満たす整数xがちょうど3個あるとき、その値は

　今度は最左辺は数だけです。こちらを頼りにして始めてみます。左側の不等式だけ書きだしてみます。

　-2≦x　―(5)

　xは-2であってもいいわけですね。-2と、それより大きい整数が3個。ということは、-2, -1, 0の3個となります。

　x＝-2, -1, 0

　そして1は許してはいけないわけです。0は許して1を許さないようにするものがあるとすれば、それは右側の不等式のはずです。右側の不等式だけ書きだしてみます。

　x＜a+2　―(6)

x＝0で成り立つのですから、

　0＜a+2　―(7)

となります。やはり問題は「x＝1で成り立ってはいけない」になります。そこでまず、1でもOKだとどういう不等式なのか、書いてみます。

　1＜a+2　―(8)

　これが表すa+2の数直線は次のようになります。

…[-2]＝[-1]＝[0]―1―2―…　←(8)の表す状況

　こうでない数直線はやはりあべこべにすればいいです。

…-2―-1―0―[1]＝[2]＝…　←(8)を否定した状況

　やはり考えなければいけないのは「0―[1]」の部分です。これは「[0]―1」をぎりぎりで回避したいのです。

　(8)をもう一度眺めてみると、a+2は1.01でも成り立ちます。a+2が1になった途端、成り立たなくなる。そして、(8)は成り立ってはいけない不等式なのでした。

　ですから、1でもいいし、1より小さくてもいい。だけど、1より少しでも大きかったら駄目だ。それを表すのが「≦1」です。「＜1」だと1が含まれません。だから「≦1」なのです。a+2もちゃんと書けば、

　a+2≦1　―(9)

となります。

　(7)と(8)を並べて書きだしてみます。

　0＜a+2　―(7)
　a+2≦1　―(9)

　これを三つの項の不等式で書けば、

　0＜a+2≦1　―(10)

ということになります。

P.S.

　結果だけから考えると、

・「＜」ではないということは「≧」だということ。
・「≦」ではないということは「＞」だということ。
・「＞」ではないということは「≦」だということ。
・「＞」ではないということは「≦」だということ。

となります。余裕があれば、これらを数直線で考えてみてください。今後、必ず役に立ちます。