２次関数に接する直線の方程式

質問

y＝ax^2＋x＋1　(a≠0)にaの値に関係なくつねに接する直線の方程式を求めよ。
という問題が塾の数Ｉのテストで出て、下に書いたような答案を作成したところ、全く減点されずに正解扱いになっていました。
しかし自分ではちょっと間違っている気がして、もし入試などで同じ問題が出たら、ちゃんと減点されずに答えられる自信がありません。本当に間違いやつっこむ所はないでしょうか？
ちなみに、模範解答とは違うやり方です。(模範を読んでもごちゃごちゃしてよくわかりませんでした。)

【書いた答案】
F(x)＝ax^2＋x＋1　とおくと、
F'(x)＝2ax＋1　であり、
x＝mにおいて放物線に接する直線の傾きは、
F'(m)＝2am＋1　であるので、直線の方程式は、
y＝(2am＋1)(x－m)＋am^2＋m＋1　で与えられ、aについて整理すると、
y＝m(2x－m)a＋x＋1　となる。ただし、aの値とは無関係に接するので、aを含む項は0になる。
よって、m(2x－m)a＝0　となり、求める方程式は、
y＝x＋1　である。

と書きました。最終的な答えは正答と同じなのですが、自分で見直してみると、私の答案だとaについて整理した時点で、
m(2x－m)a＝0　となれば良いわけで、問題文のa≠0より、
m＝0　または　x＝m/2　が成立します。
m＝0　なら正答と同じになりますが、　x＝m/2　を代入すると、
y＝m/2＋1　になってしまい。おかしいのでは??と思いました。
やはり不正解になるべきだったのでしょうか？
どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

＞m(2x－m)a＝0　となれば良いわけで、問題文のa≠0より、
m＝0　または　x＝m/2　が成立します。

ｘは定数ではなく変数なので、
「a＝０またはｍ＝０になる必要があり、
a≠0よりｍ＝０となる」

と書けばよいかと思います。

お礼

なるほど！ありがとうございます。

回答No.3

barao

その解答だと残念ながら入試では減点されてしまうでしょう。
何がいけないかというと、お気づきの通り、
ｘ＝ｍ/２のときの解についてふれられていないからです。

この問題に限らず、条件に合う解が複数出てきたときは場合分けをして解を吟味しなければなりません。
僕なりに解答を書くとしたら以下のようになります。

(１)ｍ＝０のとき
　求める直線はｙ＝ｘ＋１である。
すなわち、この放物線はａの値に関係なくｘ＝０で
ｙ＝ｘ＋１と接する。

(２)ｘ＝ｍ/２のとき
　求める直線はｙ＝ｍ/２＋１となる。
この方物線の頂点はｙ＝ｘ/２＋１上を動くので、
これは放物線の頂点で接する直線である。

以上(１)(２)より、求める直線は
　ｙ＝ｘ＋１またはｙ＝ｍ/２＋１
となる。
(※放物線の頂点の軌道は自分で確かめてみてください)

こんな感じでどうでしょうか？間違ってたらごめんなさい。

＜補足＞
放物線の頂点ではａの値に関わらず接する直線が必ず存在することは直感的にもわかりますよね。
少し面倒ですが、ａの値を５通りくらい変えたときにグラフがどのように動くのかを一度書いて見るとこのような直感的な理解もしやすくなると思いますよ。

回答No.2

ns-iroha

数Iらしい答案ということで…

y=ax^2+x+1…(1)
の接線の方程式を、
y=cx+d…(2)(c、dは定数)
とおくと、(1)、(2)を同時に満たす(x,y)がただ1つになればよいので、xに関する方程式
ax^2+x+1=cx+d…(3)
が重解を持てばよい。(3)をxについて整理すると
ax^2+(-c+1)x+(-d+1)=0…(4)
となるので、(4)の判別式
(-c+1)^2-4a(-d+1)=0…(5)
がaの値に無関係に成立すればよい。
そのためには
c=1、d=1…(6)
となればよい。(6)を(2)に代入して、求める接線の方程式は
y=x+1
となる。

いかがでしょうか？