一次方程式の利用を予習していますが わかりません

質問

夏休み中に 方程式を終らせたくて予習していますが 文章題の何をXにするか がうまくイメージできません

問題は
ハガキを買おうと思います。持っているお金では 15枚買うと100円余り 20枚買うには 200円足りません。 ハガキ１枚の値段はいくらでしょうか

私がわかっているところは (文章をそのままイメージしました)

ハガキ１枚をXにして
15X+100=20X-200
これをといたら X=60
ハガキ１た枚60円 (検算済)

ハガキ１枚の値段をXには置けるのですが

参考問題の 持っているお金をX円とし ハガキ１枚の値段に目をつけて方程式を作りましょう
が うまくイメージできません

X円持っていて１枚何円かのハガキを15枚買うと100円余る……？？？

もう混乱(T_T)

数学苦手なので 少しでもの気持ちで予習しています
簡単なことばで教えて下さい

回答No.5

debut · ベストアンサー

はがき１枚はいくらか？を考えます。
はがき１枚＝代金÷枚数。

持ってるお金から100円引いた金額で15枚買えるから
はがき１枚は、(x-100)/15円・・(1)
持っているお金にあと200円足せば20枚買えるから
はがき１枚は、(x+200)/20円・・(2)
あとは、(1)＝(2)を考え、xを出して、再び、(1)か(2)に
入れてはがき１枚の値段を出します。

お礼

遅くなりすいません

持っているお金から100円少ない金額で15枚買える 持っているお金に200円足さないと20枚買えない って表現から イメージにつながりました

よく似た問題を何問か解いて理解を深めていきたいと思います
ありがとうございます

回答No.4

KEIS050162

質問者殿の方程式の立て方の方がすっきりしていますね。参考問題のヒントの方も同じことを言っているのですが、導き方があまりよろしくないかと思います。

例えば、持ってるお金を　ｙ　として、あとは質問者殿の方程式をそのまま整理してみると、

ｙ＝１５ｘ＋１００　　　…　(1)
ｙ＝２０ｘ－２００　　　…　(2)

持っているお金　ｙ　は同じなので、

(1)　＝　(2)　

あとは質問者殿の記述の通りです。

もっと複雑に、はがき一枚の値段が一緒という風に式を立てることも可能ですが、

例えば、

ｘ＝　（ｙ－１００）／１５
ｘ＝　（ｙ＋２００）／２０　とか…

（単に、(1)(2)をそれぞれ移項してｘ＝の形にしただけです。試しに、これでｙを求めてみてください。同じ答えになります。）

この例題の場合はかえって式を複雑にしているだけなので、お勧めはしません。

持っている金額が同じ、はがき一枚の値段が同じ、どちらから攻めた方が解きやすいかだけのことですので、そういう解き方でも同じ答えになる、という程度に理解しておけばよいと思います。

回答No.3

noname#212313

それは参考書が良くないです。分かっている人には分かるんですが、分かっている人には説明が要らないですよね。分からない人に分かるように説明しないと。

　問題文は日本語で状況を説明しています。その状況から、数学で解ける部分を取り出し、数式にしてみるのが第一歩で、その第一歩がうまくやれれば、数学で分かる部分の答を出すことができます。

>ハガキを買おうと思います。持っているお金では 15枚買うと100円余り 20枚買うには 200円足りません。 ハガキ１枚の値段はいくらでしょうか？

　文章を分解してみましょう。1行ごとですが、一つの文で二つ以上のことを言っていたら、それも分解します。分解したものから、数学的なことでは何を言っているかも考えます。

１．ハガキを買おうと思います。
→目的ですが、数学的なことは直接はありません。単なる状況説明。

２．持っているお金では 15枚買うと100円余り
→数字としては、割り算的に言えば「15枚買うとき、余り100円」です。
　よく考えると「持っているお金」ということから、お金を持っていることは分かりますが、いくらかは分かりません。
　それと同じくハガキが1枚いくらなのかも分かりません。
　何が分からないかは非常に大事です。すぐに分からないことが分かるかもしれないのが数学ですから。

３．20枚買うには 200円足りません。
→２と同じですが中学ならマイナスの数も習いますから使ってみると、「20枚買うとき、余りマイナス200円」です。小学算数なら「20枚買うときは、持っているお金に200円足さなければならない」でしょうか。

４．ハガキ１枚の値段はいくらでしょうか
→この問題で求めるべき答となります。でも、「お金をいくら持っているでしょうか？」と問われるかもしれません。
　実は解いてみると分かりますが、そのどちらも求めることができますし、どちらも分かるように解かないと、この４で問われている答も出せないのです。

　２で見てみた通り、分からないのはハガキが1枚いくらなのか（単価）と、持っているお金が全部でいくらなのか（総額）です。分からない数を文字変数にしてみるのが、数学で解く第一歩となります。

　そこで、単価をx円、持っているお金（総額）をy円と置いて見ることにしましょう。

　２が言っているのは、持っているお金と15枚分のお金とプラス100円が等しいのですから、

　y＝15x＋100　―(1)

です。これ以外にも考え方次第で違う式が出ます。例えば２では「15枚買うとき、余り100円」と割り算的に言いましたが、それに沿って式を考えると、

　y÷15＝x　余り100　―(2)

とすることもできます。余り100というのは直接的ではなく、「もし持っているお金y円より100円少なければ、ちょうど15枚買える」ということなので、

　(y－100)÷15＝x　―(3)

となります。この後で分かりますが、(2)のような式は扱いにくく、(3)のように直しておくとよいです。(3)は両辺に15を掛けて、両辺に100を足すと(1)になりますし、逆に(1)から(3)に直すこともできます。どちらでもよいです。とりあえず、(1)を採用することにして、次も同じようにしてみます。

　３を見てみると、同じように考えて、

　y＝20x－200　―(4)

となります。分からない数を変数にしたら二つありました。それで式を作ったら二つ出て来ました。その二つが同じ式（両辺を何倍かしたものも同じと考える）でなければ、それで解けて、変数が二つともいくつなのか出ます。式を並べてみましょう。

　y＝15x＋100　―(1)
　y＝20x－200　―(4)

　この二つで解くのですが、こういうものを連立方程式と呼んでいます。

　(1)と(4)を見てみると、左辺のyはどちらも同じです。ですので、

　15x＋100＝20x－200　―(5)

とできます。それがお示しの（参考書の？）式です。でも、これもちょっと近道を使った分かっている人向けの解き方かもしれません。式がちょっとややこしかったり、変数が増えるとうまくやれなかったりします。

　どんなときでも使えるのは次のようなやり方です。xやyの左にある数（「係数」と言う）が等しいなら、二つの式の両辺の引き算をするのです。係数がどちらも等しくないなら、最小公倍数の考え方で、二つの式それぞれ、両辺を何倍かして等しくしてやってから引き算します。

　今求めたいのは４からハガキ1枚の値段（単価）のx円です。そして(1)と(4)ではyの係数が1で等しいですね。それなら、引き算してしまいます。筆算みたいな書き方をするとやりやすいです。

　y＝15x＋100　―(1)
－y＝20x－200　―(4)
――――――――――
0＝-5x＋300

∴5x＝300　←両辺に5xを足した（∴は「ゆえに」と読み、「だからこうなる」という意味）
∴x＝60

　ハガキの単価x円が分かりましたので、答は求められたことになります。でも正しいかどうか、持っているお金も求めておきましょう。(1)から、

　y＝15×60＋100＝1000円

だと分かります。(4)を使っても

　y＝20×60－200＝1000円

と同じになり、計算間違いはなさそうなことが分かります。

　これで解けたのですが、解き方をもう少し考えてみましょう。もし「持っているお金はいくらか」のときも、ハガキの単価を求めてからでないといけないでしょうか？　実はそんなことはありません。

　y＝15x＋100　―(1)
　y＝20x－200　―(4)

　xの係数15と20の最小公倍数は60ですね。そうなるように、(1)の両辺を4倍、(4)の両辺を3倍してみます。

　4y＝60x＋400　―(1)’
　3y＝60x－600　―(4)’

　同じように式の引き算をしてみます。

　4y＝60x＋400　―(1)’
－3y＝60x－600　―(4)’
―――――――――――
y＝1000

　4と3だったので差は1ですから、うまい具合にこれだけで求められました。普通は1にはならないので、両辺をyの係数で割って求めることになります。

　さきほど、割り算で考えた式を一つ作りましたね。それで連立方程式を作ることもできます。

　(y－100)÷15＝x　―(3)
　(y＋200)÷20＝x　―(6)

　これで解いてもよいのです。たぶん、ちょっと面倒臭いでしょうけど、解けます。いろいろあるわけです。参考問題の解き方は、その問題にだけ適したやり方です。いつも使えるとは限りません。上記のようなやり方を覚えて、慣れたら途中を省略するようにしていくといいでしょう。

P.S.

　しかし「y÷x＝15　あまり100」という式だと、上記のように連立方程式を解くやり方が、直接はできません。両辺を何倍かしたり、式同士を引き算するやり方が使えないのです（詳しい説明は今回は割愛します）。

回答No.2

gohtraw

問題の設定の中で判らないものは
・ハガキ１枚の値段
・持っているお金
の二つです。あなたが判っているところは
ハガキ１枚をXにして
15X+100=20X-200
というところですが、この、
１５X+100　あるいは　２０X-200
というのは何を表しているでしょうか？
持っているお金ですね。

つまり、上記の判らないもののうち片方をXとして、
もう片方をｘの式で表すということをしている訳です。
それが
１５X+100　及び　２０X-200
という二通りが可能で、しかも両者が（当然ながら）
等しいので等号で結んでいるわけです。

では持っているお金をXとしたら、このXで何を式に
すればいいかというと、もう一つの判らないもの、
ハガキ１枚の値段ですね。

X円持っていて１枚何円かのハガキを15枚買うと100円余る
のだから、
X-100　がハガキ１５枚の代金です。よってハガキ１枚の
値段は
（ｘ－１００）／１５
です。もう一つの条件は
20枚買うには 200円足りないのだから、Xに２００円足して
やれば２０枚買えるということです。よってハガキ１枚の
値段は
（X+200)／２０
です。この二つは同じハガキ１枚の値段を表しているので、
等号で結ぶことが出来ます。
（ｘ－１００）／１５＝（X+200)／２０
両辺を６０倍すると（６０というのは１５と２０の公倍数）
４（X-100)=３（X+200)
４X-400=３X+600
X=１０００

回答No.1

noname#215361

15X+100=20X-200は持っているお金は変わらないという考え方ですから、いつも持っているお金ははがきを何枚買っていくら余ったかにかかわらず一定であるという式を作ればいいと思いますよ。
問題の場合には、持っているお金1000円は変わっていませんから。