メタ的な推論のルール・規範について

質問

体系内でできることは文字列の生成規則と変形規則から厳密に定まっていると思うのですが、その体系でどの文字列なら生成できて、どの文字列ならできないかを体系外から考える調べる場合、その体系外の推論としてどういったことまでできるのかというのはどういう風に決めるのでしょうか。もちろんメタ的な体系としてどういうものを選択するかで変わってくると思うのですが数学ではどういった立場をとることが一般的なのかということです（例えば、帰納法は大抵の体系で採用、正当化されると考えます）。ある程度広い対象を扱え、ある程度高い証明能力をもった体系ではメタ体系として、対象の体系と同じ体系を採用することもできるわけですがそのような採用の仕方が普通ではないですよね。
　体系外の視点としてメタ体系を厳密に決めるのではなく「人間が判断できることなら推論として問題ない」という立場をとることも一つの選択肢だと感じるのですが、その際は無限のもの（論理式など）を扱う際に困難が生じるのではないかと見えるのです（無限を有限のグループに分類して扱ったりすることになるとは思うのですが）。人間の視点から考えてあとからメタ的なら体系を人間の推論をシミュレートできるように考え出してしまえばいいとも考えられますが。

　一番伺いたいことは、どういった体系外の視点から判断を与えたかで、「体系内でなにができるのかに関しての内容、結論の評価は変わってきたりしないのか」ということです。
たとえばチューリングの決定問題の否定的解決や一階述語論理の完全性定理などの評価に影響を与えないのでしょうか（このレベルの超有名な結果には影響はないと思いますが、数学者の間でこの推論は能力が高すぎるから認めない、いや認めるなどといった相違はないのでしょうか）。

　とても素人っぽい質問で恐縮です、ただの日本語で書いた意図が読みにくいものになってしまいましたが、お詳しい方いらっしゃればご教授よろしくお願いします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

まさしくご指摘の通り、メタ理論にどんな体系を使うか、ということで言えることが変わってきますね。
　対象となる系をただの「文字列生成ゲーム」だと思って、メタ理論としてはフツーの数学を使い、つまりZF公理系に基づく算術を使ってそのゲームを分析する。ってのが不完全性定理あたりでの扱い方です。
　人間の推論なんてものは、時代によっても個々人によってもバラバラで、そんなもんマトモに相手していたら話が進められないでしょう。（たとえば「100行以上の証明は長過ぎるから分からん」なんて恣意的な制約条件がまかり通ったら、それは既に数学ですらない。）ですが、少なくとも現時点では、選択公理を使わずに言える結果の方が、いわば「説得力」がありますよね。まるっきり構成的な証明がある場合だけに限らず、選択公理抜きなら存在定理でも対角線論法でもまず文句はないでしょう。それらを拒絶したら、古くから知られている数学の定理が沢山落第になりますから。この点、不完全性定理や決定不能性は文句がないというタグイの定理でしょうね。
　一方、選択公理を使わないと言えない定理の場合は（ZFC公理系でないと駄目、という場合も）、「パラドックス」と呼ばれるにしても、公理系に基づく定理として認めざるを得ない。どこか歯切れの悪さが感じられます。もし、この辺の事情を汲んで「人間の推論をシミュレート」と仰っているのなら、しかしそれは、徒手空拳の直感だけで非形式的にメタ理論を展開せよ、ということではなくて、「方法としてどこまでを認めるか」ということをメタ理論の公理系への制限として折り込んでおけ、ということでなくちゃ。

お礼

遅くなってしまい申し訳ありません。いつも回答ありがとうございます。

　何を認めるかというのはその方法そのものだけで議論されるのではなくそこから導出できる結果の含めて決められるべきだということなのですね、そして（当あたり前ですが）ある程度の共通認識はあるわけですね。とても参考になりました。

　有意義な意見を本当にありがとうございました。

回答No.1

trytobe

私の素人のたわごとで思ったことは、「ゲーデルの不完全性定理」の議論に帰結するご質問なのかな、という点です。

その公理系の中では評価は不動だが、それを含む広い公理系から議論されると話は変わる、という可能性が議論される切り口なのかな、と思いまして。

お礼

回答ありがとうございます。
　たとえば、矛盾した体系をメタ体系としてとったとすると（文字列の生成規則にのっとった文字列ならば）なんでも証明できるほどつよい訳ですよね。が、そんな体系をメタとしてとる意味はないので（対象の体系としてとっても意味はないですが）だれでもそこから出てきた（対象体系に関する）結果は納得しないと思います。納得しないという意味で意見は一致するということです。

　しかし、メタ体系としてとれる体系にはできる操作の違いにより証明能力に違いがあり、人によって認める体系に違いがあるのではないかと素人ながら思ったのです。

　ここまで書いていて思ったのですがこれは何もメタというか、対象体系についての議論に限られたことではないですね。
文字列体系が何かをあらわしていると見てとる、解釈する場合にはあらわしているものとの関係が問題になるので常について回ることなのではないかと思えます。

　文字数を費やさず書いてしまったため言いたいことが非常にわかりにくくなってしまいました、申し訳ありません。このたびは回答本当にありがとうございました。