確率の問題がわかりません

質問

確率の問題がわかりません。

下に載せた画像の問題について、最初からつまずいています。
まず、この問題へのアプローチについて。この問題はマルコフ連鎖又はランダムウォークの類ととらえるべきでしょうか？それともそんな事考えずとも出来るでしょうか？

実際に問題を解いてみて、(1-1)は大丈夫そうでした。しかし、(1-2)では、x_k=1なので0～k-1番目までを0.1.0…0もしくは1.0.1…0で場合分けして、P(x_0,x_1,x_2,…x_k-1)＊pと計算をしたのですが、イマイチ自信が持てません。(1-2)の解き方はこれでいいのでしょうか？

分かる人いたら回答お願いします。

回答No.1

fluidicB · ベストアンサー

ただのベルヌーイ試行問題でＯＫですよね。

実は、この出題が結構いい加減で、複数の捉えようがある問題になってしまっています。
問題の独立な確率変数の列は無限に続くものとして、
(1-2)の出題で、「たとえば」で示された条件は、「x_k=1となる確率を求めよ。」という文を
限定していないものとしましょう。たぶん出題者がいいかげんなだけ。

やっかいなのは(1-2)で聞いていることが特定のkについて確率を聞いているのか、
あらゆるkについて聞いているのかがはっきりしないこと。

前者なら、ご指摘の解答でたぶんＯＫ。
後者なら、それが無限級数なのでその総和。

もし問題の「独立な確率変数の列」がn番目で打ち止めだとして、n<kだったら、x_kが存在しないのでそれが1になる確率は0ですよね。
問題文のどこにも、無限に続くとは書いていません。
まぁ、てんてんてんと書けば無限だと思ってあげよう、って、ここは広く緩い心でうけいれましょうか。

念のため考え方。
(1-1)の答えは、(1-2)でk=0のときの確率だよね。
k=1のときは必ずx_0=0だとわかるので、その確率は上の答えに1-pをかけたもの。
k=2のときは順に1,0,1,1だからさらにpをかけたもの。
k=3のときは同様の議論でさらに1-pをかけたもの。
k=4のときは、さらにpをかけたもの。
　以下同様

求める確率は、すべてのkについて足したものなので、これらの総和。
書いてみればわかるけど、２つずつまとめると、とある等比数列になってます。
あるいは奇数番目と偶数番目の２つの等比数列とみるのでもＯＫ。
なので等比級数の和の公式にあてはめて整理して、答え。

お礼

なるほど、確かに特定のkなのかあらゆるkなのかで解き方変わってきますね、回答ありがとうございます!