確率の問題 平均値の求め方

質問

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学校の課題で出た確率を求める問題です。問題を以下に示します。

xは自然数1,2,…aのみをとる確率変数である。
このときxの平均E(x)と、x^2の平均E(x^2)は、

E(x) = ΣkP(x=k)　　(Σはk=1,....,a)についての総和)

E(x^2) = Σk^2P(x=k)　　(Σはk=1,....,a)についての総和)

ただし、P(x=k)はx=kとなる確率である。

このとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。

（1）E(x) = ΣkP(x>=k)　　(Σはk=1,....,a)についての総和)

（2）E(x^2) = Σ(2k-1)P(x>=k)　　(Σはk=1,....,a)についての総和)

ただし、P(x>=k)はx>=kとなる確率である。

以上です。よろしくお願いします。

回答No.4

foriver7 · ベストアンサー

度々すみません

>とできるので
E(x^2) = Σk^2P(x=k)
=1^2(x>=1)+(2^2-1)(x>=2)+・・・+a^2(x>=a)

とできるので
E(x^2) = Σk^2P(x=k)
=1^2(x>=1)+(2^2-1^2)(x>=2)+・・・+(a^2-(a-1)^2)(x>=a)

でしたorz

他にミスがあったら訂正しておいてください。

お礼

とてもわかりやすい回答ありがとうございます。
なんとか間に合わせることができました。

感謝いたします

回答No.3

foriver7

先ほどの(2)の証明ですが・・

>ここで
Σ(2k-1){kは1からnまで}=n^2
と、なるので

ではなく

>ここで
k^2-(k-1)^2=2k-1
と、なるので

としておいてください。違う問題と勘違いしてました。

回答No.2

foriver7

こんばんは,大学2年です。

(1)についてですが、問題あってますか？
例えばサイコロの目の数の期待値の問題に適用させると
E(x) = ΣkP(x=k)=1*1/6+2*1/6+・・・+6*1/6=21/6=7/2
となりますが
(1）E(x) = ΣkP(x>=k)に適用させると
）E(x) = ΣkP(x>=k)=1*1+2*5/6+3*4/6+4*3/6+5*2/6+6*1/6≠7/2
となって,明らかに違う値となります.　
私が勘違いしていたらすみません。

(2)ですが定義どおりに
(2）E(x^2) = Σk^2P(x=k)　　(Σはk=1,....,a)についての総和)
=1^2P(x=1)+2^2P(x=2)　　　　+3^2P(x=3) +　・・・　+a^2P(x=a)
=1^2P(x=1)+1^2P(x=2)　　　　+1^2P(x=3) +　・・・　+1^2P(x=a)
　　　　　　+(2^2-1^2)2P(x=2) +(2^2-1^2)P(x=3) +・・・+(2^2-1^2)P(x=a)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(3^2-2^2)P(x=3)+・・・+(3^2-2^2)P(x=a)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（繰り返し）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(a^2-(a-1)^2)P(x=a)
とできるので
E(x^2) = Σk^2P(x=k)
=1^2(x>=1)+(2^2-1)(x>=2)+・・・+a^2(x>=a)
ここで
Σ(2k-1){kは1からnまで}=n^2
と、なるので
=Σ(2k-1)P(x>=k)

やり方はたくさんあると思いますが私が最初に思いついたのは,このやり方でした。P(x=k)で与えられた式をP(x>=k)と変換するのにどうしたらいいかと考えた結果がこの証明方法でした

お礼

ご回答ありがとうございます
確認したところ、(1)は
E(x) = ΣkP(x>=k)ではなく、
E(x) = ΣP(x>=k)　　(Σはk=1,....,a)についての総和)
でした。申し訳ありません

回答No.1

rabbit_cat

だから、そんな等式がなりたつわけがないんですけど、何か別の条件がついていないですか？

もし、この問題が合ってるなら、
E(x) = ΣkP(x=k)
と、
（1）E(x) = ΣkP(x>=k)
から、
ΣkP(x=k) = ΣkP(x>=k)　　(Σはk=1,....,a)
が成り立つことになるんですけど。
明らかに
P(x=k) ≦ P(x>=k)
ですから、つまり、
P(x=k) ＝ P(x>=k)
が全てのkについて成り立たないといけない。