２つの確率問題

質問

解答があってるかどうかわからないのでもしお分かりの方がいたらご教授ください。

1. プリンターのカートリッジが壊れている確率をpとし、それぞれは独立である。
(a)　カートリッジは一度に一つずつ調べられます。五つめに調べられたカートリッジが二つ目に壊れているものである確率を求めよ。そして、二つの壊れたカートリッジを見つけるのに必要だと期待される検査の回数は何か。
(b)いくつのカートリッジを買えば、少なくともそれらの一つが壊れていないという確率が少なくとも0.99であると確信できるか。

私の解答
(a)X＝検査されたカートリッジの数とすると、
X～NB(2,p)であり、P(五番目に検査されたものが２つ目に壊れている）＝4C1*p^2*(1-p)^3=4*p^2(1-p)^3
E(X)=2/p

(b)P(少なくとも一つは壊れていない）＝１－P(全て壊れている)＞＝０．９９　なので、
P(全て壊れている）＜＝０．０１
だから、(1-p)^k＜＝０．０１となり
ｋ＜＝(ln0.01)/ln(1-p)
だから、[　ｌｎ（０．０１）/ ｌｎ（１－ｐ）]個、買う必要がある。

**ここで[x]はxを超えない最大整数を表します。つまり[3.5]=3

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

#2です。すいません。勘違いでした。

「２個の壊れたカートリッジを見つけるまで検査して、５回目の検査で"２つ目の壊れたカートリッジ"を見つける確率」
という事を想定されていたんですね。(つまり、余事象は、３回目の検査で"２つ目の壊れたカートリッジを見つける"など)
なので、問題なさそうです。

私は、「５個のカートリッジを検査して、"最初の４個の検査で１つ壊れていて"、かつ、最後の１個も壊れている確率」
と解釈してました。(つまり、余事象は"５個のカートリッジを検査して、３つの壊れたカートリッジを見つける"など。)

期待値の計算を考えると、kenmogakeuさんお解釈の方がよさそうですね。

お礼

すみません。私の書き方が悪かったのかもしれません。しかしながら、ご教授有難うございました。

回答No.2

eatern27

統計学はあまり詳しくないのですが、

＞X＝検査されたカートリッジの数とすると、
＞X～NB(2,p)であり、
ってのは、おかしくないですか？

そもそも、Ｘは確率変数ではないような。(答えの方は問題ないと思うのですが...)

回答No.1

eatern27

少なくとも、

>ｋ＜＝(ln0.01)/ln(1-p)

ここはおかしいです。(ln0.01)/ln(1-p)『以下』であればＯＫ(つまり、１個でもＯＫ)という結論はおかしいですよね。
ln(1-p)<0なので、両辺をln(1-p)で割ると不等号の向きが変わります。

お礼

添削有難うございます。他の解答は間違いないでしょうか？引き続き、ご教授ください。