確率

質問

箱の中に3n枚(n≧2)のカードがあり、それぞれに１からn2 までの数字のどれか１つが書いてある。奇数1,3,5,...2n－1の書かれたカードは各１枚、偶数2,4,6,...2nの方は各２枚である。
この箱から同時に２枚のカードを無作為に選び、そのうち最大の数字をXとする。このとき、次の問に答えよ。

(1) 確率P(X≦3),P(X=4)をそれぞれ求めよ。
(2) 整数kを2≦k≦2nとするとき、確率P(X≦k)を求めよ。
(3) 整数kを2≦k≦2nとするとき、確率P(X=k)を求めよ。

(2),(3)を教えてください。
ちなみに(1) P(X≦3)=4/n(3n-1) ,P(X=4)=6/n(3n-1) となりました。

よろしくお願いします。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

P(X=4)をどのように求めましたか？
(3)を解くには，P(X=4)=P(X≦4)-P(X≦3)の考え方で解く発想が必要ですね……閑話休題。

奇数のカードと偶数のカードでは枚数が違うので，ｋが奇数の場合と偶数の場合とで分けて考える必要があります。
途中の計算は入口と出口だけ紹介して途中計算は省いています。

（２）について
（ア）ｋが奇数の場合（２≦ｋ≦ｎよりｋ≧３）
ｋ＝２ｊ-１とおける。ｋ＝２ｊ-１より小さい数は
奇数：１，３，５，……，２ｊ-１　　（ｊ個）
偶数：２，４，６，……，２ｊ-２　　（(ｊ-１)個×２）
よって
Ｐ(Ｘ≦ｋ)
＝｛（ｊＣ２+ｊＣ１×２(ｊ-１)Ｃ１+２(ｊ-１)Ｃ２｝/３ｎＣ２
＝(ｊ-１)(３ｊ-２)/ｎ(３ｎ-１)　　　（ｊ＝(ｋ+１)/２を代入する）
＝(ｋ-１)(３ｋ-１)/４ｎ(３ｎ-１)

（イ）ｋが偶数の場合
ｋ＝２ｊとおける。ｋ＝２ｊより小さい数は
奇数：１，３，５，……，２ｊ-１　　（ｊ個）
偶数：２，４，６，……，２ｊ　　　（ｊ個×２）
よって
Ｐ(Ｘ≦ｋ)
＝｛（ｊＣ２+ｊＣ１×２ｊＣ１+２ｊＣ２｝/３ｎＣ２
＝ｊ(３ｊ-１)/ｎ(３ｎ-１)　　　（ｊ＝ｋ/２を代入する）
＝ｋ(３ｋ-２)/４ｎ(３ｎ-１)

（３）について
（ア）ｋが奇数の場合，ｋ-１が偶数となる
Ｐ(Ｘ＝ｋ)＝Ｐ(Ｘ≦ｋ)-Ｐ(Ｘ≦ｋ-１)
＝(ｋ-１)(３ｋ-１)/４ｎ(３ｎ-１)-(ｋ-１)(３ｋ-５)/４ｎ(３ｎ-１)
＝(ｋ-１)/ｎ(３ｎ-１)

（イ）ｋが偶数の場合，ｋ-１が奇数となる
Ｐ(Ｘ＝ｋ)＝Ｐ(Ｘ≦ｋ)-Ｐ(Ｘ≦ｋ-１)
＝ｋ(３ｋ-２)/４ｎ(３ｎ-１)-(ｋ-２)(３ｋ-３)/４ｎ(３ｎ-１)
＝２(ｋ-１)/ｎ(３ｎ-１)

以上です。

お礼

ありがとうございました。無事に解決いたしました。