微分の問題

質問

次の関数の最大値を求めよ。
ただしaは定数とする。
f(x)=-x^3+3ax (0≦x≦1)

場合分けのあたりがわかりません
お教えください。

回答No.1

transcendental · ベストアンサー

ｙ＝－ｘ＾３＋３ax,(0≦ｘ≦１）
ｙ’＝－３（ｘ＾２－a）
グラフの形は、aの正負で大きく変わります。

１）a≦０のとき、関数は単調減少ですから、０≦ｘ≦１でのｙの最大値は０、（ｘ＝０のとき）

２）問題はa>0のときです。
このとき、ｘ＝√aの前後で導関数の符号が正から負へと変わるから、√aと１との大小関係が問題です。
まず、１≦√aのとき、ｙの最大値は３a－１、(ｘ＝１のとき)、０＜√a＜１のときすなわち０＜a＜１のときは、極大値が最大値になります。（ｘ＝√aのときｙ＝２a√a）