- ベストアンサー
コインの表裏の出る回数の差がｍ回以下になる確率
supernova20102の回答
数式を立てて答を求めるのは苦手なので，シミュレーションで試してみました。 回答順序が変わりますが... > 【質問4】 10Ｃ6などは私も手計算できますが、100000Ｃ50000 になると無理です。何か参考になるサイトはあるでしょうか。 > 【質問5】 2^100000 などについて何か参考になるサイトはあるでしょうか サイトというか，やはりコンピュータでの計算が必要でしょう。R という統計ソフトで，長精度計算をするライブラリ gmp を使えば，100000C50000 の答もあっという間に計算できますが，しかしそれは 30101 桁の整数なのでとても扱えるようなものではないと思います。 しかし，実際に計算する必要のある数は， （100000Ｃ50000＋100000Ｃ50001＋100000Ｃ50002＋・・・＋100000Ｃ50099＋100000Ｃ50100）／2^100000 のような，べらぼうに大きい数100000Ｃ50000を，べらぼうに大きい数2^100000で割ったほどほどの数の和ですから，これは，gmp などを使わなくても計算できます。それぞれの項の対数をとって計算して，最後の答の exp を取ります。R では 100000Ｃ50000 の対数を lchoose(100000, 50000) で計算し，100000*log(2)を引いて，答の exp を取るのです。それを 50000 から 50100 までやって合計すると求めたい確率が得られます。 > s=0 > for (i in 50000:50100) { + s=s+exp(lchoose(100000, i)-100000*log(2)) + } > print(s) [1] 0.2387487 または，もっと簡単に， > sum(dbinom(50000:50100, 100000, prob=0.5)) [1] 0.2387487 答は， 0.2387487 ということになりました。 さて，これが正しいかどうか，R では，簡単にシミュレーションできます。 > r <- 100000000 > ans <- rbinom(r, 100000, prob=0.5) > mean(abs(ans-50000)*2 <= 200) [1] 0.4749635 100000000回の選挙があったとして，票差が 200 以下になる確率は，0.4749635 程度のようです（計算にはほぼ 10 秒かかりました）。 先ほどの確率計算の結果が 0.2387487 でしたが，そのほぼ2倍になっていると思われます。違う原因は，あなたは， （100000Ｃ50000＋100000Ｃ50001＋100000Ｃ50002＋・・・＋100000Ｃ50099＋100000Ｃ50100）／2^100000 を考えましたが，もう一方の， （100000Ｃ49900＋100000Ｃ49901＋100000Ｃ49902＋・・・＋100000Ｃ49998＋100000Ｃ49999）／2^100000 が考え落とされているのではないかと。ということで，求める値は，0.4774974 なのではないかなと思いますが。 > 【質問7】 でも ○○の確率で １０００００回の試行回数なら差が何百回以下に収まるはずだ、というようなよく言われる用語があるのでしょうか 信頼区間という用語があります。 > 【質問8】 一般的に、表も裏も出るのが等確率になるのなら、１０００００回のうち５００００回ちょうど表が出る という事象は、「もっともありがちな事象」 であって、珍しいことでも何でもない、のでしょうか？ 以下の計算式で，答は得られます。 > exp(lchoose(100000, 50000)-100000*log(2)) [1] 0.002523126 または，より簡単に > dbinom(50000, 100000, prob=0.5) [1] 0.002523126 そのようなことは，もっともありがちですが，決してその確率は高くはありませんね。
関連するQ&A
- コインを∞回投げた場合の表が出る回数の期待値は？
n回試行における確率pの期待値はnpですよね n回中k回表が出る確率p(k)はnＣk(1/2)^nたから、期待値はn*nＣk/2^n ここまでは分かるのですが、ここからn→∞として収束したとして(そもそも何に収束するか分からないのですが……)それは∞回投げた場合の表が出る回数の期待値にはならないですよね どうすればいいのでしょうか 教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率 ｍ枚のカードから1枚取り出す
１からｍまでの番号が１つずつ書いてあるｍ枚のカードが入っている箱がある。この箱から1枚取り出してはまたもとに戻す操作をｎ回繰り返し、第i回目に取り出したカードの番号をAiとする。A1≧A2≧A3≧・・・・≧Anとなる確率をp（m,n）で表すとき、次の値を求めよ。 (1)p(2,n) (2)p(3,n) (3)p(4,7) (4)p(4,n) この問題を解いているのですが僕にとってかなり難問です。 とりあえず(1)なのですが、２がずっと続いて途中で１になるような確率を出せばいいのではないかと考えたのですが、「何個目で１に変わるのか」をどう表すのかがよくわかりません。1回目で変わる、2回目、3回目と分けようと思ったのですが、ｎなので無理でした。 こういう場合、確率はどのようにして出すのでしょうか？教科書や傍用問題集では見たことのないタイプです。 回答いただけるとありがたいです。よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 「コインを n 回投げて、表が出る回数」の分散？
ものすごく基本的な質問だとは思うのですが・・・ コインを n 回投げて、表が出る回数の分散って、きれいな解があるのでしょうか？コインの表裏は確率１／２だとします。 ΣnCi (1/2)^i (1/2)^(n-i) これが回数の期待値の式ですよね。 この先がよく分からなくて・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ピタゴラス数にからんだ整数問題
以下の問題を一応証明したのですが、論述に自信がありません。入試の採点でつっこまれそうなか所を指摘して欲しいです。（京大志望です） 自然数 a，b，c について，等式 a^2+b^2=c^2 が成り立ち，かつ a，b は互いに素とする。このとき，次のことを証明せよ。 (1) a が奇数ならば，b は偶数であり，したがって c は奇数である。 (2) a が奇数のとき，a+c=2d^2 となる自然数 d が存在する。 (1) a,bをともに奇数とすると i,jを任意の自然数として a=2i-1 b=2j-1 とおける。 すると、 a^2+b^2=(2i-1)^2+(2j-1)^2 =4(i^2+j^2)+4(i-j)+2=c^2 よってcが奇数であるときc^2も奇数となるからcは偶数。 よって c=2k とおく。 すると、 0=a^2+b^2-c^2 =4(i^2+j^2-k^2)+4(i-j)+2≡2(mod.4) となって不合理。 よってa,bがともに奇数とはなり得ない。 よってaが奇数ならばbは偶数以外ありえない。 (2) m,n（m＜n）を自然数として a=n^2-m^2 c=n^2+m^2 とおく。 （a,cはともに奇数よりn,mのうち一方は偶数で一方は奇数） 以下題意をみたす任意のa,cがこのようにあらわせることを示す。 上の式をn^2,m^2について解くと n^2=(c+a)/2 m^2=(c-a)/2 となる。 よって n^2m^2=(c^2-a^2)/4=b^2/4 よって b=2mn となる。 これはbが偶数であるという(1)に矛盾しない。 よって上のようにa,b,cを表現することに不合理はない。（ただしm,nは互いに素とする。でないとa,b,cが互いに素であるという仮定に反する） またこれより題意をみたすとき a+c=2n^2 よって題意は示された。 (2)のa,cがm,nであのように表現できるという証明で、とりあえず矛盾はなさそうだからＯＫと言うような論法になってしまっている気がするのですが… どうでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率の漸化式の問題です
円周上に、右回りも順で３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり、円周にそって、これらの点の上を右回りに進むものとする。１つのサイコロを投げて、偶数の目がでれば、その数だけ進み、奇数ならば１つ進む試行を繰り返す。初めＡにいて、ｎ回目の試行の後でＡにいる確率をＰ_n、Ｂにいる確率をＱ_n、Ｃにいる確率を Ｒ_nとして次の問に答えよ。 （１）Ｐ_nをR_n-1(n>=2)で表せ。 （２）Ｐ_3nを求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 助けてください
10は偶数で5の倍数です。 11は素数です。 12は偶数で6の倍数です。 13は素数です。 14は偶数で7の倍数です。 15は奇数で5の倍数です。 16は偶数で8の倍数です。 17は素数です。 18は偶数で9の倍数です。 19は素数です。 20は偶数で10の倍数です。 と出力させたいのですが、 H:\>java SuuNoSyurui 11は奇数で0の倍数です。 12は偶数で0の倍数です。 13は奇数で0の倍数です。 14は偶数で0の倍数です。 15は奇数で0の倍数です。 15は素数です。 16は偶数で0の倍数です。 17は奇数で0の倍数です。 17は素数です。 18は偶数で0の倍数です。 19は奇数で0の倍数です。 19は素数です。 20は偶数で0の倍数です。 -- Press any key to exit (Input "c" to continue) -- こうでてしまいます。 下のが立てたプログラムです。 public class SuuNoSyurui { public static void main(String[] args) { int i=1,j=2; int n1=10; int n2=20; int n=n2-n1; int baisu=0; for(i=1;i<=n;i++) { if (i%2==0){ System.out.println("\t"+(i+n)+"は偶数で"+baisu+"の倍数です。"); } else { System.out.println("\t"+(i+n)+"は奇数で"+baisu+"の倍数です。"); } for(j=3;j<=(i-2);j +=2) { if (((i-2)%j==0) && ((i-2)%2)==1){ System.out.println("\t"+(i+n)+"は素数です。"); } } } } }
- 締切済み
- Java
- 教えてください！コイン、サイコロを投げる回数の増減と確率の問題
明日提出の統計学の課題で分からない質問があり 大ピンチ状態になっています！！ 分からないのは下の３つです。 (1)さいころを10回投げて偶数が4回出る確率と 100回投げて40回出る確率は同じか？ サイコロを10回投げたとき、偶数の目が出る確率は5回程度になることが多い。でも実際には、0回～10回までの全ての可能性がある。投げるのを00回も繰り返せば、理論値に近似する結果が得られると思うけれど、理論上の確率は同じではないか？と思うのですが正しいでしょうか？ (2)コインを10回投げて表が4回出る確率と、その後で10回投げて裏が4回出る確率は同じか？ これも確率と 表裏、時間の前後￥が関係ないとすると 理論上の確率は同じと思うのですが正しいでしょうか？ (3)信頼度95%で視聴率の区間を調べたら18%～22%だったとして、 Ａ.視聴率は30%以下と言えるか？ Ｂ.視聴率は20%以上と言えるか？ Ｃ.視聴率は95%といえるか？ Ｂ．は、視聴率は平均20%の正規分布に従うので, 視聴率が20%以上である確率は50%, 視聴率が20%以下である確率も50%. 従って, 「視聴率が20%以上である」という表現は「正しくない(NO)」ということで良いのではないかと思いました。間違えていた教えてください。 また、Ａ、Ｃについてはどうしたら分かるのか どなたかご指導いただけますでしょうか？？どうぞよろしく願います。
- 締切済み
- 数学・算数
- 分数の未解決問題のことで質問です
今回はコラッツ予想が正しいと仮定すれば、エルディッシュ分数予想が正しいことを実験的に証明してみたいと思います。自信はありませんが。 ⑴ ある奇数の数列 p［n］を考えます p［n］は 奇数でないといけないと仮定します。p［１］をスタート場所と 考えた時、p［１］は奇数であるとします。次の式が成り 立つとします。 （２＾s）・p［n］＝３・ p［n−１］＋１ ① と式をあらわした時、十分に大きな数をLとした時に、 p［L］＝１ となる予想がコラッツ予想だと思っています。 （２＾s）・p［n］＝３・ p［n−１］＋１＝m ② ⑵ こちらの予想はエルディッシュの分数予想で、 a、b、c は任意の自然数を代入可能で、Q［k］は 分数が解ける数で、 Q[k］＝２４・k＋１＝４abcーbーc ③ です。 ここで、m＝ab とおきmの約数を σ（m）で表すと Q[k］＝４mcーcーσ（m）＝（４mー１）cーσ（m）④ となります。ちなみにmは偶数です。 ここで④の式のmは任意の偶数ですので、 m＝３・p［n−１］＋１を代入して計算することが可能で、 計算してみると②と④より Q［k］＝（１２・p［n−１］＋４−１）cーσ（m） ＝３（４・p［nー１］＋１）cーσ（m） ＝１２・c・p［n−１］＋３cーσ（m） ⑤ となります。 ここでQ[k］＝２４k＋１、kは自然数です。 Q［k］＝１２・c・p［n−１］＋３cーσ（m）＝２４k＋１ ここで、 １２・c・p［n−１］＝２４k ⑥ ３cーσ（m）＝１ ⑦ とおくと、⑦より ３cー１＝σ（m） dをある自然数とすると、 m＝d・（３cー１） ⑧ ⑥より １２・c・p［n−１］＝２４k c・p［n−１］＝２k ⑨ ②、⑧より ３・p［n−１］＋１＝m＝d・（３cー１）となりますので、 d＝２とおけば良いと思います。ですのでmは偶数です。 このことを実験的に確かめてみます。 k＝１８の時は Q［１８］＝２４・１８＋１＝４３３ ⑨より c・p［nー1］＝２・１８ c・p［nー1］＝３６ c＝４、p［nー1］＝９、k＝１８、となり、 m＝d・（３cー１）＝d・１１＝２２ Q[k］＝１２・c・p［nー1］＋３cーσ（m） Q［１８］＝４８・９＋１２ーσ（２２） ＝４３２＋１ ＝４３３ となります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 集合と論理
「f(x)=x^2+ax+b とする。∀n∈Z に対して、f(n)が偶数となるためのa,bの条件を求めよ。」 この問題に対して私は以下のように解答しました。 「(ⅰ)nが偶数 つまりn=2p(p∈Z)と表わせるとき f(n)=f(2p)=2*2p^2+2ap+b f(n)が偶数となるとき bが偶数であることが必要 (ⅱ)nが奇数 つまりn=2q+1(q∈Z)と表わせるとき f(n)=f(2q+1)=2*2q^2+2(a+2)q+a+b+1 f(n)が偶数となるとき a+b+1が偶数であることが必要 (ⅰ),(ⅱ)より f(n)が∀n∈Z に対して偶数となるとき aは奇数、bは偶数であることが必要 逆にaは奇数、bは偶数 すなわち a=2s+1(s∈Z), b=2t(t∈Z) であるとき f(x)=x^2+(2s+1)x+2t となり (a)nが偶数 つまりn=2p(p∈Z)と表わせるとき f(n)=2*2p^2+2p(2s+1)+2t となり f(n)は偶数 (b)nが奇数 つまりn=2q+1(q∈Z)と表わせるとき f(n)=2*2q^2+2(2s+3)q+2t+2 となり f(n)は偶数 となるから f(n)は∀n∈Z に対して偶数となる 以上よりn∈Z に対して、f(n)が偶数となるためのa,bの条件は aが奇数で、bが偶数であること」 設問に対する証明はこれで良いのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- サイコロを繰り返し振って1の目がr回連続して出るまでの振る回数の期待値
（１）1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。 「1の目が」r回連続して出たら、振るのをやめるとします。 n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値に興味を持っています。 また問題文を少し変更したものにも興味があります。 （２）1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。 「どんな目でもいいので」r回連続して出たら、振るのをやめるとします。 n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値。 （３）1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。 「1の目が」総計でr回出たら、振るのをやめるとします。 n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値。 （４）1からmの目があるサイコロを繰り返し振るとします。 「どんな目でもいいので」総計でr回出たら、振るのをやめるとします。 n回目にやめる確率、とやめる回数の期待値。 nに関する漸化式を立てようとしたのですが、ややこしくてうまくいきません。 ご存知の方は教えていただけないでしょうか? 写像で言うと次のような写像（数列）における性質を考えています。 f:{1,2,3,…}→{1,2,3,…,m}
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
30101 桁の整数！ なるほど、それで他の方も近似とおっしゃっている意味がわかりました。 100000Ｃ50000 の対数を取れる、というソフトがあるんですねー。幅広いご知識を分けてくださって助かります。 ＞もう一方の（中略）が考え落とされている の件については、 一応ＡとＢ（表と裏）の２つしか選択肢がないうちの Ａが２００票差で「勝つ」という条件設定をしたものですから。 でも、まとめて計算して２で割る、というものもたいへんわかりやすかったです。 計算シミュレーションまでしてくださいまして、たいへん助かりました。 0.2387487 はそのまま 23％ でしょうか？ つまり理論的には、１００回のうち２３回は差が２００以下になる見込み、ということで合っていますか？ 私の予想よりは１桁高いので驚きました。 票差が０になるのが 0.002523126 つまり ０.２５％、 この前後は、０の時をピークに少しずつ下がる、 と考えると、確かに ０.２５％ の１００倍弱になるのかも知れませんね。 まあ、私の式立てが間違っていない、という前提かも知れませんが。 ＋100 0.002523126よりそれなりに小さい数字 ＋99 0.002523126よりそれなりに小さい数字 ・・・ ＋2 0.002523126より微妙に小さい数字 ＋1 0.002523126より微妙に小さい数字 ±0 0.002523126 －1 0.002523126より微妙に小さい数字 －2 0.002523126より微妙に小さい数字 ・・・ －99 0.002523126よりそれなりに小さい数字 －100 0.002523126よりそれなりに小さい数字 １０秒もかかる計算を人にさせてしまってすみません。お手数にもご丁寧なご説明にも感謝しております。 すると、人間社会でも 当たるも八卦、当たらぬも八卦 という場面は多々ありますが、選挙や試合で 完全に実力が均衡していてどちらが勝ってもおかしくない という場面では、その得点差（票差）も限りなく ±０ に近付く、 ある程度 ±０ から前後にぶれることは当然あるが、 ２００票差以内というのは そんなに奇跡的でもない（４分の１の確率でこの範囲に収まるはずだ）、 ということで納得しました。 ゴア大統領候補の頃からもやもやしていて、あの時は投票用紙に細工がしてあったとか、選挙に行かせないよう妨害があったとか言われて、再集計も行われて、陰謀説を一時期信じそうになりました。 「中途半端に２０００票差で勝ったなら不正が疑われ続けたが、２００票差や２０票差のような『奇跡』と思わせるような数字だと、奇跡の方に人々が酔ってしまって、批判を打ち消せる」 という演出もあるのかな、と思っていたのです。その根底には、 １０００００万人も投票して、２００票差なんてあるわけがないだろう という思い込みがあったわけです（数字はイメージですが）。 その後再びアメリカにおいて、地方選挙で極小差の勝利がありました。 日本でも最近、「わざと停電を起こして開票中の投票用紙を食べて処分する」 という事件がありましたから（この日本でですよ！）、 不信感を抱かざるを得ず、 「奇跡」に対して数字的な裏付けが欲しかったわけです。 すっきり しました！ ありがとうございます。