任意の数を等比級数の和で表せますか。

質問

数学の素養がない人間が抱く漠然とした疑問ですが、こういうことは不可能なのでしょうか。以前にも類似の質問をしたかもしれません。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

「等比級数の和」ってなんだろう.

等比級数なら「公比 0」とすればいい. 面白くもなんともないが.

お礼

ご教示ありがとうございました。

補足

たとえば１＝１/２+１/４+１/８+・・・というのは１/３+１/９+１/２７+・・・でも同じように成り立つのでしょうかという意味でした。

回答No.5

funoe

やや不審な気持ちになってきました。
せっかく回答してみたのに「ろくに読まずに」補足欄を書いていませんか？
（私の投稿の最後の「無理。」だけを読んで反射的に補足記入しているように思えます）

ＮＯ４での私の回答も、他のＮＯ１もＮＯ２の回答も、
あなたの質問「任意の数を等比級数で表せるか」に対して、「できますよ」と答えているわけです。

それなのに、「実数を複素数まで拡大すれば、あるいは成り立つこともあるのでしょうか 」
という、追加質問が出る理由がわからない。
なぜ、拡大する必要があるの？「実数ではできない」なんて、だれも言っていないでしょ。

結局、何を聞きたいのか、わからずじまいでした。

お礼

ろくに読まずにではなくきちんと読めるような理解力がなかったということになります。すみませんと申し上げても失礼ではないでしょうか。能力がないというのは悲しいことです。うっかりなら救いようがありますが、つらいことです。勉強したいと思います。ほかの方への補足欄に書いたことも同様なものだろうと思いました。自分は数学に憧れていると思っていても、本当は憧れてもいないのかもしれません。

回答No.4

funoe

任意の数を等比級数の和で表せますか。
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まず、些細な指摘をすると「級数」って、既に「数列の無限和」って意味だから「級数の和」ってよくわかんない。

単に「任意の数を等比級数で表せるか」なら、

まず、つまらない例でいえば、
任意の数ａについて、
初項ａ、公比０の級数
ａ+0+0+0+0+・・・＝ａ　になるんで、解決。　　・・・No1さんの回答はこのこと。

また他に、
1/2+1/4+1/8+1/16+・・・・＝１　になることを知っているなら、
a/2+a/4+a/8+a/16+・・・・＝a になることもわかりそう。（初項ａ、公比1/2の等比数列の無限和）

と、ここまでは、「ほんの少し」考えればわかりそうなので、
でも、なお質問しているということは他になにか知りたいことがあるのではないかと思わせる・・・。
いったい、本当はなにが知りたいのだろう・・・、という質問になっている。

たとえば、「初項も公比も有理数の等比級数で任意の実数を表す」とかならそれは無理。

補足

実数を複素数まで拡大すれば、あるいは成り立つこともあるのでしょうか

回答No.3

Tacosan

なにをいわんとしているのか, さっぱりわからない. １/３+１/９+１/２７+・・・ が 1 になるわけないじゃん.

お礼

だめなのですね。いくら足しても1にはならないのですね。こういうことが分からないもので申し訳ありません。補足欄のようにすれば大丈夫でしょうか。ご教示いただきありがとうございました。

補足

入力ミスでした。失礼いたしました。

回答No.2

spring135

候補となる等比級数の初項をa,公比をr,n項までの和が目的の数Pになったとすると

P=a+ar+ar^2+....ar^(n-1)=Σ(k=1,n)[ar^(k-1)]=a(r^n-1)/(r-1)

つまり

P=a(r^n-1)/(r-1)

の関係を満たすa,r,nを求めればよいと考えられます。

最も簡単なのはr,nを適当に決めてaを求めるのがよいでしょう。

a=P(r-1)/(r^n-1)

例）

P=100

r=2

n=5

の時、aを求める。

a=100*(2-1)/(2^5-1)=3.225806451...

後は精度をどう設定するかでしょう。それ以外特段の問題はなさそうです。

お礼

ご教示ありがとうございます。勉強させていただきます。