数学でいう確率に虚数のイメージを感じる根拠はあるか

質問

数学が分からないものの疑問ですが、なぜか確率と虚数が重なっているように感じられます。高校で複素数が分からなくて絶望した人間の感じることですから、おそらく根拠はないというのが結論でしょうが、ご解説いただければ幸いです。以前も類似の質問をいたしました。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

「確率」って、要するに「正値有界測度」の別名だから、
実数値であることが前提かと。
量子論の人達でさえ、波動関数の絶対値をとるのだし。

お礼

数学の厳しい論理性が残念ながら私には全く手が出ません。少しでも理解に近付けるような素材はないものかともがいております。しかしご教示心より感謝申し上げます。

回答No.1

ereserve67

確率と虚数が絡みつく分野でもっとも有名なのは実は数学ではなくて物理学の中にあります．

物理学に状態という重要な概念があります．物理学が対象とする粒子や場からなるシステムを物理系と呼びましょう．

例えば，ある物理系には状態Aか状態Bかが実現されるとします．（コインを投げて表が出れば状態Aとし，裏が出れば状態Bとしてもよいでしょう）．物理学によれば，この物理系の状態は絶対値が1の複素数

ψ=cosθ+isinθ (θは実数の角度，iは虚数単位）

で表せることになっています．cos^2θ，sin^2θは和が1ですが，それぞれ状態A,Bの実現する確率と解釈します．するとθ=45°のときは

ψ=(1+i)/√2

となります．少し考えにくいのですが，これも立派な状態です．つまり状態Aと状態Bがちょうど同じ割合で重ねあわせられた新たな状態と考えるのです．奇妙でしょう．（例えて言えば，コインが同時に表であり裏であるなんてことがあるのか，ということですね．この手の問題は有名なシュレディンガーの猫として一般向けの本で解説されることもあります）．

実は物理学の対象が，電子や原子などミクロな粒子や場であると，このような考え方が正しいことが分かっているのです．それは量子力学，量子論と呼ばれる分野です．

物理学の理論も数学で書かれていますから，質問者様の直感は当たっているともいえるでしょう．

お礼

ご教示ありがとうございます。ひょっとしたら量子力学の聞きかじりの結果抱くようになったイメージかもしれませんが、もう少し勉強してみたいと思います。