無限等比級数

質問

問：半径OD=１の円に内接する３ｎ個の半径の等しい円を添付図のように描く。
　　 さらにそのうちがわに３ｎ個の小さな半径の等しい円を描く。
　 　以下、同様の操作をおこなうとき、描かれる円の面積の総和S_nを求めよ。

添付図のように隣り合う２つの小円を取り出し、その半径をｒとおき、∠AOC=θとおくと
θ＝∠AOB /2 ＝(2π/3n)/2
∴θ＝π/3n
であるから、　ＯＡsinθ＝ＡＣ
∴　(1-r)sinθ＝ｒ　
∴　r=sinθ/(1+sinθ)
である。

次の小円は半径OE＝1-2r　の円に内接することになるから、その半径は（1-2r）rである...........

（∵1回目、2回目の小円の半径の比は内接する円の半径の比OD : OE = 1 : 1-2r に等しい。）

らしいのですが、なぜでしょうか。

回答No.1

f272

中学生の時に相似と言うのを習ったでしょ。