ベクトル解析における曲率κ(t)のグラフについて

質問

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X(t)=
e^t
e^t
e^(-t)
で表される曲線の曲率κ(t)のグラフについて、次の(1)～(5)のうち正しいものを一つ選んでください。(1)lim[t→-∞]κ(t)=0かつlim[t→∞]κ(t)=0で－∞＜t＜∞のどこかで最大値を取る。
(2)lim[t→-∞]κ(t)=∞かつlim[t→∞]κ(t)=∞で－∞＜t＜∞のどこかで正の最小値を取る。
(3)lim[t→-∞]κ(t)=∞かつlim[t→∞]κ(t)=0で単調減少である。
(4)lim[t→-∞]κ(t)=∞かつlim[t→∞]κ(t)=∞で単調増大である。
(5)lim[t→-∞]κ(t)=ｌ1＞0かつlim[t→∞]κ(t)=l2＞0で正の有限の極限を持つ。

という問題で以下の2点がわかりません。途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。
質問１まず曲率κの値が途中までしかわかりません。
質問2なぜ正解が(1)なのか具体的な理由をわかりやすく教えてください。
以上宜しくお願いします。

x'(t)=
e^t
e^t
-e^(-t)
||x'(t)||=√{e^2t+e^2t+e^(-2t)}=√{2e^(2t)+e^(-2t)}
e1(t)={1/||x'(t)||}・x'(t)より
　　　=1/√{2e^2t+e^(-2t)}×
e^t
e^t
-e^(-t)

e1(t)=
e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)}
e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)}
-e^(-t)/√{2e^2t+2e^(-2t)}

e'1(t)=
[e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)}]'
[e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)}]'
[-e^(-t)/√{2e^2t+2e^(-2t)}]'

上の微分は積の微分や合成関数の微分法を使うと思うのですが、ここまでしかわかりません。ここまでの計算で間違いなどあればご指摘ください。
そして曲率κ(t)=||k(t)||でk(t)=｛1/x'(t)｝・e'1(t)です。

回答No.3

yyssaa

＞回答No.2の続きです
質問2なぜ正解が(1)なのか具体的な理由をわかりやすく教えてください。
κ(t)=2√{2e^(-2t)+4e^2t}/{2e^2t+e^(-2t)}^2
=2√{2e^(-2t)+4e^2t}/{4e^4t+e^(-4t)+4}
=2√{2/e^(-6t)+4/e^(-10t)}/{4/e^(-8t)+1+4/e^(-4t)}
lim[t→-∞]e^(-6t)=e^∞=∞
lim[t→-∞]e^(-10t)=e^∞=∞
lim[t→-∞]e^(-8t)=e^∞=∞
lim[t→-∞]e^(-4t)=e^∞=∞だから
lim[t→-∞]κ(t)=2√(2/∞+4/∞)/(4/∞+1+4/∞)
=2√(0+0)/(0+1+0)=0/1=0・・・・・(ア)
κ'(t)=[2(1/2)(1/√{2e^(-2t)+4e^2t}){-4e^(-2t)+8e^2t}{2e^2t+e^(-2t)}^2
-2√{2e^(-2t)+4e^2t}2{2e^2t+e^(-2t)}{4e^2t-2e^(-2t)}]/{2e^2t+e^(-2t)}^4
=[{-4e^(-2t)+8e^2t}{2e^2t+e^(-2t)}^2
-4{2e^(-2t)+4e^2t}{2e^2t+e^(-2t)}{4e^2t-2e^(-2t)}]/√{2e^(-2t)+4e^2t}{2e^2t+e^(-2t)}^4
={-48e^4t+12e^(-4t)}/√{2e^(-2t)+4e^2t}{2e^2t+e^(-2t)}^3
分母は常に正。
分子:-48e^4t+12e^(-4t)＞0を解くと
12e^(-4t)＞48e^4t、e^(-4t)＞4e^4t、1＞4e^8t、1/4＞e^8t
e^8t＞0だからlogを自然対数としてlog(1/4)＞8t、log1-log4＞8t
-2log2＞8t、-(1/4)log2＞tとなり、
κ(t)は-(1/4)log2＞tで増加、-(1/4)log2＜tで減少、-(1/4)log2=tで
極大となる。・・・・・(イ)
以上の(ア)と(イ)から(1)が正解となる。

回答No.2

yyssaa

ここまでは正しい。
e1(t)=
e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)},
e^t/√{2e^2t+2e^(-2t)},
-e^(-t)/√{2e^2t+2e^(-2t)}
＞これはコピペミス。正しくは
e1(t)=
e^t/√{2e^2t+e^(-2t)},
e^t/√{2e^2t+e^(-2t)},
-e^(-t)/√{2e^2t+e^(-2t)}
以下、計算を続けると
e1'(t)=
[e^t/√{2e^2t+e^(-2t)}]',
[e^t/√{2e^2t+e^(-2t)}]',
[-e^(-t)/√{2e^2t+e^(-2t)}]'

[e^t/√{2e^2t+e^(-2t)}]'
=[e^t√{2e^2t+e^(-2t)}-e^t(1/2){2e^2t+e^(-2t)}^(-1/2){4e^2t-2e^(-2t)}]/{2e^2t+e^(-2t)}
=[e^t{2e^2t+e^(-2t)}-(1/2)e^t{4e^2t-2e^(-2t)}]/{2e^2t+e^(-2t)}^(3/2)
=2e^(-t)/{2e^2t+e^(-2t)}^(3/2)
[-e^(-t)/√{2e^2t+e^(-2t)}]'
=[e^(-t)√{2e^2t+e^(-2t)}+e^(-t)(1/2){2e^2t+e^(-2t)}^(-1/2){4e^2t-2e^(-2t)}]/{2e^2t+e^(-2t)}
=[e^(-t){2e^2t+e^(-2t)}+e^(-t)(1/2){4e^2t-2e^(-2t)}]/{2e^2t+e^(-2t)}^(3/2)
=4e^t/{2e^2t+e^(-2t)}^(3/2)

e1'(t)=
2e^(-t)/{2e^2t+e^(-2t)}^(3/2),
2e^(-t)/{2e^2t+e^(-2t)}^(3/2),
4e^t/{2e^2t+e^(-2t)}^(3/2)

k(t)=e1'/|x'(t)|=
2e^(-t)/{2e^(2t)+e^(-2t)}^2,
2e^(-t)/{2e^(2t)+e^(-2t)}^2,
4e^t/{2e^(2t)+e^(-2t)}^2

κ(t)=|k(t)|=[{4e^(-2t)+4e^(-2t)+16e^2t}/{2e^(2t)+e^(-2t)}^4]^(1/2)
=√{8e^(-2t)+16e^2t}/{2e^(2t)+e^(-2t)}^2
=2√{2e^(-2t)+4e^2t}/{2e^(2t)+e^(-2t)}^2

回答No.1

stomachman

直交座標系上の話ですね。このとき X(t) の各成分をx(t), y(t), z(t)とすると、曲率κは
　　κ = √((x'')^2+(y'')^2+(z'')^2)
であり、ただし '' はsによる2階微分。ここに、sってのは曲線に沿った長さ、すなわち
　　ds/dt = √((dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2)
である。これを使って、sによる2階微分を行うんです。tによる微分と混同しないように注意して計算すれば大丈夫。