数学3 微分の問題です。

質問

数学3、微分の問題です。

lim (t→0 )( t+ 1 )^1/t =e を利用して、
次の極限値を求めよ。
(1)lim (h→0 )( 1+ 2h )^1/h
(2)lim (h→0 )(( e^h -1 )/n)

答えは、
(1)e^2
(2)1

です。よろしくお願いします。

回答No.4

151A48

前に一度解答をさいあげた者です。お尋ねがありましたので・・・
(2) n とあるのはhの誤りと思います。
　一般に関数f(x)のx=0の微分係数は
　lim(h→0)(f(0+h)-f(0))/h で f(x)=e^x と置いたのが問題の式。
　一方　f '(x)=(e^x) '=e^x で f '(0)=e^0=1

でも考えてみたら，最初の公式を使わせたかったみたいなので，次のような解答を期待しているのかも。

h=log(1+x)とおくと，e^h=1+xよりe^h-1=x
∴lim(h→0)(e^h-1)/h=lim(x→0)x/log(1+x)=lim(x→0)1/(1/x)log(1+x)=lim(x→0)1/log(1+x)^(1/x)
ここで公式を使って =1/loge=1/1=1
対数の低はすべてeです。
参考にして下さい。

回答No.3

ninoue

#2です。
少し早とちりしてすみませんでした。
数式の書き方として括弧を正しく使われていれば問題なかった筈ですね。
次のように書かれていたら良かったのだと思います。
そうすれば #1の151A48さんの回答通りで正解です。

lim(t→0)(1 +t)^(1/t)=e　を利用して、
次の極限値を求めよ。
(1) lim(h→0)(1 +2h)^(1/h)
(2) lim(h→0)((e^h -1)/h)

お礼

きちんと表記せず、申し訳ありませんでした。

解答ありがとうございました！

回答No.2

ninoue

問題を再確認ください。
次のようにしかならないようですが。
lim (t→0 )( t+ 1 )^1/t ==> 1^1/t ==> 1/t ==> ∞
(1)==>∞

回答No.1

151A48

(1) t=2h　とおいて　((1+t)^1/t)^2
(2)　これは，e^x のx=0　における微分係数の定義では？

お礼

回答ありがとうございます。助かります。

(2)について、もう少し具体的な解答を教えていただけませんでしょうか？
よろしくお願いします。