2本の線に内接する円の中心を教えて下さい。

質問

製造業に携わっていますが、
図面では2本線の交点のみ寸法が書かれている場合が多く、
内接する円の中心座標が分かりません。

添付画像のような感じなのですが、
この場合の円の中心位置を求めるにはどうすれば良いでしょうか？

また、この2本の線の交点の呼び名は何というのでしょうか？

回答No.1

中京区 桑原町（@l4330） · ベストアンサー

こうすれば判りませんが？
角 a と角 b　は同じ角度ですよね
円の半径をrとすれば
Y方向の座標はr
Ｘ方向は
30-(r×tan(90-a))

お礼

ご説明ありがとうございました！
数学は苦手なので非常に助かりました。
ありがとうございます。

回答No.7

QoooL

＃６です。
肝心な部分でコピペでミス見落としました。

-----------------
誤
　　ｘ＝ｓ－(Ｒ * tan(90－α))
または
　　ｘ＝ｓ－(Ｒ / tan α)
または
　　ｘ＝ｓ－(Ｒ / tan(θ/2) )　・・・★
または
　　ｘ＝ｓ－(Ｒ / tan(90°－（θ/2)) )
-----------------
（ｓ－(Ｒ * tan(90－α))，　　　　ｔ＋Ｒ）
（ｓ－(Ｒ / tan α)，　　　　　　ｔ＋Ｒ）
（ｓ－(Ｒ / tan(θ/2) )，　　　　ｔ＋Ｒ）　・・・★
（ｓ－(Ｒ / tan(90°－（θ/2)) )，ｔ＋Ｒ）
-----------------
↓
-----------------
正
　　ｘ＝ｓ－(Ｒ * tan(90－α))
または
　　ｘ＝ｓ－(Ｒ / tan α)
または
　　ｘ＝ｓ－(Ｒ * tan(θ/2) )　・・・★
または
　　ｘ＝ｓ－(Ｒ / tan(90°－（θ/2)) )
-----------------
（ｓ－(Ｒ * tan(90－α))，　　　　ｔ＋Ｒ）
（ｓ－(Ｒ / tan α)，　　　　　　ｔ＋Ｒ）
（ｓ－(Ｒ * tan(θ/2) )，　　　　ｔ＋Ｒ）　・・・★
（ｓ－(Ｒ / tan(90°－（θ/2)) )，ｔ＋Ｒ）
-----------------

なお、*　は　かける　の意味（ｘだとエックスと区別が付かないので、＊　を　ｘ　の代わりに使います）。

以上、お詫びして訂正します。

お礼

詳しいご説明ありがとうございました！

回答No.6

QoooL

失礼ですが、＃１の回答者さんのお答えが完璧なので、これ以上何を求めていらっしゃるのかがわかりかねます。

作図できれば良いだけなら、＃３の回答者さんのおっしゃる通り、２本の平行線を引いて交点を求めるだけです。
しかし、「座標」とおっしゃっているので、ＣＡＤなどで
（ｘ，ｙ）　の形式で特定なさりたいのでしょう？

ｘ＝30-(r×tan(90-α))
または
ｘ＝30-ｒ/tan α
（ｘ＝30-ｒ/tan θ　ではありません）
では、お求めの答えに程遠いですか？

ちなみに、この２つは同じ式です。なぜなら、
tan(90-α)＝1/tan α
だからです。

さて、まずは他の方が答えてらっしゃらないご質問からお答えします。
円に接する線を　接線　といい（図のＬ、Ｍ）、
接線が接する点を　接点　といいます（図のＨ、Ｊ）。
「円の中心と接点を結ぶ直線は、接線と直角に交わる」　という性質があります。

＞この2本の線の交点の呼び名は何というのでしょうか？

「円の接線の交点」という以上の呼び名は知りません。
この交点をＰとおきます。
円の中心をＣとおき、座標を求めます。

恐らく、このような「曲がり角」「ヒジ」に接するようなケースは非常に多いので、
ｓ＝３０　＆　Ｒ＝１０　の場合に限らず、
一般的な式をお知りになりたいのでしょう？

そこで私はいっそのこと、直線Ｌの方も、Ｘ軸と一致するわけでなく、Ｘ軸からｔだけ離れた平行な直線、とおきました。

さて、ここからは高校数学的な説明になります。
まず、直線Ｍ（「斜線」）の傾きですが、
　　方向角θという、Ｘ軸の正の向きとのなす角　で表す
場合、普通は
　　反時計回り　を　正
にとって説明します。
まず言葉が
　　X座標からは○○度　という言い方ではなく、
　　X軸（の正の向き）からは○○度　という言い方
になることに注意してください。
図の向きに傾いている場合、
　　直角に対して15度は、X軸からは75度
　　直角に対して20度は、X軸からは70度
　　直角に対して25度は、X軸からは65度
　　直角に対して30度は、X軸からは60度
となります（θ）。

このとき図の通り、
　　α＋α＋θ＝180°
が成り立つわけです。だから、
　　α＝90°－（θ/2）

ですから、図面上で　αかθがわかれば、
三角関数表をネットなどで見て、
　　ｘ＝ｓ－(Ｒ * tan(90－α))
または
　　ｘ＝ｓ－(Ｒ / tan α)
または
　　ｘ＝ｓ－(Ｒ / tan(θ/2) )
または
　　ｘ＝ｓ－(Ｒ / tan(90°－（θ/2)) )
に当てはめて答えを得てください。
なお、
　　ｙ＝ｔ＋Ｒ
です。

図面上で、１マス右に進んで５マス上に上がる、みたいなことがわかるのであれば、
　　角度はわからなくても　tanθ＝5　という値は求められます。

＞円弧のRはR2やR3、大きい場合で8Rなどです。

の意味はよくわかりませんでした。
R2　は　Ｒ＝2　のこと、
8R　は　Ｒ＝8　のこと
ですか？

もう私は一般式を示したので、後はその都度、Ｒに値を入れてください。
tanα＝ＣＨ／ＰＨ
sinα＝ＣＨ／ＣＰ
cosα＝ＰＨ／ＣＰ
です。だから逆算で、
ＰＨ＝ＣＨ／tanα
　　＝Ｒ／tanα
となります。ｓから引いて
　　ｘ＝ｓ－(Ｒ / tan α)
となる理由です。

＞各角度・各RでRの中心を出す計算式が分かりません。

各角度ごとに計算式が別になったりはしませんよ！
確かに、３０°、６０°などのよく使う角度の場合には、小数○○をかけるだけ、という簡素化ができますけれども。
最初は、三角関数表を見て、式の意味を理解した上でカスタマイズしてください。

ちなみに、直線Ｍの式は方向角θを用いて
　　ｙ＝(ｘ－ｓ) * tanθ + ｔ
と表せます。
逆に、直線の式が
　　ｙ＝３Ｘ－１５
と与えられた場合、
　　tanθ＝３
ということがわかります。

答
（ｓ－(Ｒ * tan(90－α))，　　　　ｔ＋Ｒ）
（ｓ－(Ｒ / tan α)，　　　　　　ｔ＋Ｒ）
（ｓ－(Ｒ / tan(θ/2) )，　　　　ｔ＋Ｒ）
（ｓ－(Ｒ / tan(90°－（θ/2)) )，ｔ＋Ｒ）

回答No.5

MagicianKuma

この図から中心座標を求めることはできない。
情報が足りない。たとえば斜線の角度とか。

補足

質問の情報不足、また記入漏れで失礼しました。

車線の角度は直角に対して15度（X座標からは105度）20度（X座標からは110度）・25度（X座標からは115度）・30度（X座標からは120度）の場合です。

また、円弧のRはR2やR3、大きい場合で8Rなどです。

各角度・各RでRの中心を出す計算式が分かりません。

ご教授いただけると幸いです。

回答No.4

spring135

横座標をx軸、縦座標をy軸と呼ぶことにします。

円はx軸に接してΦ20なので円の中心のy座標は10です。

x軸に平行に10上に直線(y=10)を引きます。　　　　　　　　　　　　　　　(1)

円の接線と円の中心から接線に下した垂線は直交します。

逆に接点から接線に垂直に立ち上げた垂線は円の中心を通ります。　

この垂線を引きます。　　　　　(2)

(1)、(2)の交点が中心です。要するに斜めの接線はなくても中心はわかるわけです。

しかし、円の接点は作図で正確に決めるのは結構大変です。どうしても誤差を伴います。

この誤差を避けるために少しtrial and error を繰り返す必要があります。

斜めの接線についても、接点を定めて、そこを中心としてΦ20すなわち半径10の円を描き(1)との交点として

円の中心を求めることもできます。

お礼

詳しいご説明ありがとうございました！

回答No.3

foomufoomu

2本線それぞれに、円の半径ｒだけ離れた位置に平行線を引きけば、その交点が円の中心です。
中心座標は、右側の斜め線の傾きが角度で与えられるとすると、水平線との角度(小さいほう)をθとして、ｙ＝ｒ
ｘ＝30-ｒ/tanθ

お礼

良く分かりました。ありがとうございます。

回答No.2

shintaro-2

>図面では2本線の交点のみ寸法が書かれている場合が多く、
>内接する円の中心座標が分かりません。

今回の図のように、円の半径（or直径）が記載されていないと無理です。

直径20mmとして半径が10mmですから、
それぞれの直線から10ｍｍの垂線を立てて交わったところが円の中心です。

作図をすれば判りますが、
中心、接点、2本の線の交点を結んだ四角形は、
接点のところが90度ですから
中心と交点とを結ぶ補助線を引くと
２つの合同な直角三角形ができています。

つまりこの直角三角形を基準に円の中心を求めれば良いのです。

お礼

Rをきちんと書いていなかったので、ご迷惑をお掛け致しました。
ご回答ありがとうございました。