同時分布と独立同一分布の解釈はこれでOK?

質問

確率論の用語がいまいちピンと来ないので測度論の言葉で書き換えてます。

σ有限の測度空間(A_i,B_i,P_i)と可測空間(Ω_i,Σ_i) ただし,i=1,2,…,k
に於いて,次のように定義しました。

PがP_1,P_2,…,P_kの同時分布 ⇔ PはP_1,P_2,…,P_kらからなる積測度,

つまり,P(X_1^-1(b_1),X_2^-1(b_2),…,X_k^-1(b_k))=Π_{i=1..k}P_i(X_i^-1(b_i))
が成り立つ(∀b_i∈B_i,Map(A_i,Ω_i)∋X_iはB_i/Σ_i-可測関数).
そして,この時, X_1,X_2,…,X_kらを同時変数(joint distributed random variables)という.

このような解釈で大丈夫でしょうか?

特に,
(A_1,B_1,P_1)=(A_2,B_2,P_2)=…=(A_k,B_k,P_k)且つ
(Ω_1,Σ_1)=(Ω_2,Σ_2)=…=(Ω_k,Σ_k) の時,
Map(A_1,Ω_1)∋X_1,X_2,…,X_kらを独立同一分布変数(independent and identically distributed random variables)といい,
PをX_1,X_2,…,X_kの独立同一分布(independent and identity distribution)といい,

とも解釈いたしましたがこれで大丈夫でしょうか?

回答No.2

ramayana

ANo.1 へのお礼and補足について。

**************
Σ∋s_1,s_2,…,s_nが(事象について)独立⇔P(∩_{i=1}^n s_i)=Π_{i=1}^nP(s_i)が成立
**************
{ } の括り方がちょっと気になりますが、有限個の事象については、おっしゃるとおり

「Σ∋s_1,s_2,…,s_nが独立⇔P(∩_{i=1 to n} s_i)=Π_{i=1 to n}P(s_i)」

で正解だと思います。無限個の事象について、それらが独立とは、その任意の有限部分集合が独立である、という意味です。

**************
「X[1]∈A[1], X[2]∈A[2], ・・・, X[k]∈A[k] が独立のとき、Φは独立であると言います。」ちょっとここがいまいちよく分かりません。
**************
記述を省略しすぎましたかね。1 ≦ i ≦ k なる各 i　について、 A[i] の X[i] による逆像X[i]^(-1)(A[i]) （すなわち、 X[i](w) ∈ A[i] となるような w 全体の集合）は、Σの元ですから、ひとつの可測事象です（X[i]が可測関数だから）。そこで、

「事象 X[1]^(-1)( A[1])、X[2]^(-1)( A[2])、・・・、X[k]^(-1)( A[k]) が独立」

という意味で、上のように記述しました。

（参考　「事象」とは）
「事象」とは、Ωの元に対する条件のことです。条件が与えられれば、その条件を満たす元全体から成るΩの部分集合が得られます。逆も言えます。この関係によって、Ωの部分集合全体と事象全体を同一視できます。この意味で、事象とは、Ωの部分集合のことだとも言えます。上の X[1]∈A[1], X[2]∈A[2], ・・・, X[k]∈A[k] は、事象を条件によって記述したものであり、 X[1]^(-1)( A[1])、X[2]^(-1)( A[2])、・・・、X[k]^(-1)( A[k]) は、同じ事象を部分集合で記述したものです。なお、可測集合（Σの元）に対応する事象のことを「可測事象」といいます。文献によっては、可測事象だけを事象と定義する流儀もあるようです。

**************
『Φ:={X∈Map(Ω,R);Xは可測集合}とする時,Φ⊃{X[1],X[2],…,X[k]}=:Φ'が独立,⇔∀b[1],b[2],…,b[k]∈Brl(R)に対して,P(∩_{i=1..k}X[i]^-1(b[i]))=Π_{i=1..k}PX[i]^-1(b[i])』が確率変数X[1],X[2],…,X[k]が独立の定義
**************
そういうことです。ただ、「Xは可測集合」は「Xは可測関数」の誤植でしょうね。

**************
（確率ベクトルの独立について）
『Φ:={X∈Map(Ω,R^k);Xは可測集合}とする時,Φ⊃{X[1],X[2],…,X[k]}=:Φ'が独立,
⇔∀b[1],b[2],…,b[k]∈Brl(R^k)に対して,P(∩_{i=1..k}X[i]^-1(b[i]))=Π_{i=1..k}PX[i]^-1(b[i])』
**************
各確率ベクトルの次元は、互いに異なっても構いません。たとえば、次のような定義になります：

『n を2 以上の整数とする。k[1]、k[2]、・・・、k[n] をそれぞれ 1 以上の整数とする。Φ':={ X[1],X[2],…,X[n] | X[i]はk[i]次元確率ベクトル}とする時, Φ'が独立⇔∀b[1] ∈Brl(R^k[1]),∀b[2]∈Brl(R^k[2]),・・・, ∀b[n]∈Brl(R^k[n])に対してP(∩_{i=1..n}X[i]^(-1)(b[i]))=Π_{i=1..n}P(X[i]^(-1)(b[i]))』

**************
（ANo.1 の定理２に関し）
X:=(X[1],X[2],…,X[k])^Tを確率ベクトルとすると∀b∈Brl(R)に対して, P(X^-1(b))=Π_{i=1..k}P(X[i]^-1(b))が成立ということなのですね。
**************
P(X[i]^(-1)(b)) というときの b は、すべての i で共通ということではありません。 b が i ごとに変わるという前提で書き直すべきです。

**************
（無限個の事象に対する「独立」概念について）
『Φ:={X∈Map(Ω,R);Xは可測集合}とする時,Φ⊃{X[1],X[2],…}=:Φ'が独立,⇔∀b[1],b[2],…∈Brl(R)に対して,P(∩_{i=1..∞}X[i]^-1(b[i]))=Π_{i=1..∞}PX[i]^-1(b[i])』
**************
その解釈は、間違いだと思います。
無限個の事象が独立だというのは、その任意の有限部分集合が独立だという意味です。無限積は、使いません。

お礼

すっかり遅くなりまして大変申し訳ありません。
ご回答誠に有難うございます。

> ANo.1 へのお礼and補足について。
> **************
>　Σ∋s_1,s_2,…,s_nが(事象について)独立⇔P(∩_{i=1}^n s_i)=Π_{i=1}^nP(s_i)が成立
> **************
> { } の括り方がちょっと気になりますが、

TeXっぽく打ってしまってました。

> 有限個の事象については、おっしゃるとおり

有難うございます。

> 「Σ∋s_1,s_2,…,s_nが独立⇔P(∩_{i=1 to n} s_i)=Π_{i=1 to n}P(s_i)」
> で正解だと思います。無限個の事象について、それらが独立とは、
> その任意の有限部分集合が独立である、という意味です。

了解です。

> **************
> 「X[1]∈A[1], X[2]∈A[2], ・・・, X[k]∈A[k] が独立のとき、Φは独立であると言います。」
> ちょっとここがいまいちよく分かりません。
> **************
> 記述を省略しすぎましたかね。1 ≦ i ≦ k なる各 i　について、 A[i] の X[i] による
> 逆像X[i]^(-1)(A[i])（すなわち、 X[i](w) ∈ A[i] となるような w 全体の集合）は、
> Σの元ですから、ひとつの可測事象です
> （X[i]が可測関数だから）。そこで、

なるほどです。
「(Ω,Σ,P)にてX[i]:Ω→R, k=1,2,…,kがΣ可測関数の時,
Brl(R)∋∀b_iに対して, X[1]^-1(b[1]),X[2]^-1(b[2]),…,X[k]^-1(b[k])が(事象について)独立」
ですね。

> 「事象 X[1]^(-1)( A[1])、X[2]^(-1)( A[2])、・・・、X[k]^(-1)( A[k]) が独立」
> という意味で、上のように記述しました。
> （参考　「事象」とは）
> 「事象」とは、Ωの元に対する条件のことです。条件が与えられれば、その条件を満たす元全体から
> 成るΩの部分集合が得られます。逆も言えます。この関係によって、Ωの部分集合全体と事象全体を
> 同一視できます。

Ωの部分集合⇔Σ可測集合
だからなのですね
(確率論では非可測集合の存在を仮定してないのでこれでOKなのですね)。

> この意味で、事象とは、Ωの部分集合のことだとも言えます。
> 上の X[1]∈A[1], X[2]∈A[2], ・・・, X[k]∈A[k] は、事象を条件によって
> 記述したものであり、

このような記法があったのですね。参考になります。

> X[1]^(-1)( A[1])、X[2]^(-1)( A[2])、・・・、X[k]^(-1)( A[k]) は、
> 同じ事象を部分集合で記述したものです。なお、可測集合（Σの元）に対応する事象のことを「可測
> 事象」といいます。文献によっては、可測事象だけを事象と定義する流儀もあるようです。

納得です。

> **************
> 『Φ:={X∈Map(Ω,R);Xは可測集合}とする時,Φ⊃{X[1],X[2],…,X[k]}=:Φ'が独立,⇔
> ∀b[1],b[2],…,b[k]∈Brl(R)に対して,P(∩_{i=1..k}X[i]^-1(b[i]))=Π_{i=1..k}PX[i]^-1
> (b[i])』が確率変数X[1],X[2],…,X[k]が独立の定義
> **************
> そういうことです。ただ、「Xは可測集合」は「Xは可測関数」の誤植でしょうね。

そうでした。失礼致しました。

> **************
> （確率ベクトルの独立について）
> 『Φ:={X∈Map(Ω,R^k);Xは可測集合}とする時,Φ⊃{X[1],X[2],…,X[k]}=:Φ'が独立,
> ⇔∀b[1],b[2],…,b[k]∈Brl(R^k)に対して,P(∩_{i=1..k}X[i]^-1(b[i]))=Π_{i=1..k}PX[i]^-1(b[i])』
> **************
> 各確率ベクトルの次元は、互いに異なっても構いません。たとえば、次のような定義になります：
> 『n を2 以上の整数とする。k[1]、k[2]、・・・、k[n] をそれぞれ 1 以上の整数とする。
> Φ':={ X[1],X[2],…,X[n] | X[i]はk[i]次元確率ベクトル}とする時, Φ'が独立⇔∀b[1]
> ∈Brl(R^k[1]),∀b[2]∈Brl(R^k[2]),・・・, ∀b[n]∈Brl(R^k[n])に対してP(∩_{i=1..n}
> X[i]^(-1)(b[i]))=Π_{i=1..n}P(X[i]^(-1)(b[i]))』

納得です。

> **************
> （ANo.1 の定理２に関し）
> X:=(X[1],X[2],…,X[k])^Tを確率ベクトルとすると∀b∈Brl(R)に対して, P(X^-1(b))=Π_{i=1..k}
> P(X[i]^-1(b))が成立ということなのですね。
> **************
> P(X[i]^(-1)(b)) というときの b は、すべての i で共通ということではありません。
> b が i ごとに変わるという前提で書き直すべきです。

なるほどです。つまり,
X:=(X[1],…,X[k])とする。X[1],…,X[k]がP上で独立
⇔
∀(b[1],…,b[k])∈Brl(R^k)に対して, P(X^-1(b[1],…,b[k]))=Π_{i=1 to k}PX_i^-1(b[i])
でいいのですね。

> **************
> （無限個の事象に対する「独立」概念について）
> 『Φ:={X∈Map(Ω,R);Xは可測集合}とする時,Φ⊃{X[1],X[2],…}=:Φ'が独立,⇔∀b[1],b[2],…∈Brl(R)に対して,P(∩_{i=1..∞}X[i]^-1(b[i]))=Π_{i=1..∞}PX[i]^-1(b[i])』
> **************
> その解釈は、間違いだと思います。
> 無限個の事象が独立だというのは、その任意の有限部分集合が独立だという意味です。無限積は、使いません。

了解です。
『Φ:={X∈Map(Ω,R);Xは可測集合}とする時,Φ⊃{X[1],X[2],…}=:Φ'が独立,
⇔
∀m∈Nに対し, {i_1,i_2,…,i_m}⊂Nに於いて,
∀b[i_1],b[i_2],…,b[i_m]∈Brl(R)を採ると,P(∩_{j=1..m}X[i_j]^-1(b[i_j]))=Π_{j=1..m}PX[i_j]^-1(b[i_j])』
という事なのですね。