意外と面倒かもしれない高校数学

質問

x、yが、1≦x≦3、－4≦y≦－2の範囲の全ての値を取っている。
この時、(x+y)*{(y/x)－(x/y)}の取りうる値の範囲を求めよ。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

出題者の意図に合致するかどうかはわかりませんが、以下の解法は一応高校の数学の範囲内だと思います。x,yの2変数では扱いづらいので１変数で扱えるよう考えました。

題意は1≦x≦3　-4≦y≦-2　…(1)を満たすすべての（x,y)の組について(x+y)*{(y/x)－(x/y)}…(2)がとる範囲を求めることですが、(2)を変形するとf(x,y)=((y-x)(y+x)^2)/xy　…(3)となりますのでこれで考えます。

まず(1)を満たす領域を通る直線たち　x+y=k …(4) ただし-3≦k≦1　を考えるとこの直線上のすべての(x,y)は(4)を満たす。

k=0 すなわちx+y=0 のときf(x,y)=0 となり(3)においてy-x<0、xy<0 よりf(x,y)≧0 だからこれが最小値となる。…（０）

一方k≠0のとき(3)はf(x)=(-2(k^2)x+k^3)/x(k-x) …(3)’となり、これをxで微分するとf'(x)=(-2(k^2)x^2+2k^3x-k^4)/x^2(k-x)^2=(-2k^2)((x-k/2)^2+3k^2/4))/x^2(k-x)^2<0　

したがってk≠0のとき(1)を満たす領域で直線(4)上にある(x,y)については、(3)’は連続でありxについて単調に減少するため、xの最小値に対応するf(x)の値がそのkにおける最大値となる。

（１）直線x+y=kが線分PQと交わるとき、すなわち-1≦k≦1(ただしk≠0)のとき、(3)'の最大値を与えるのはxが最小となるy=-2のときだから(3)はf(x)=(-2-x)(x-2)^2/-2x=(x+2)(x-2)^2/2x …(4)　 xで微分するとf'(x)=x-1-4/x^2 この符号がx=2の前後で負から正に変化することに留意して (4)の増減を1≦x≦3　で調べると　f(1)=3/2 が最大値である。

（２）直線x+y=kが線分QRと交わるとき、すなわち‐3≦k≦-1のとき(3)'の最大値を与えるのはxが最小となるx=1のときだから(3)はf(y)=(y-1)(y+1)^2/y …(5)　yで微分すると　f'(y)=2y+1+1/y^2　(5)の増減を　-4≦y≦-2　で調べると　この範囲ではf'(y)<0 だから　f(-4)=45/4 が最大値である。

（０）（１）（２）をまとめるとx+y=0を満たすすべての(x,y)(ただし2≦x≦3)のとき最小値0、(x,y)=(1,-4)のとき最大値45/4となる。

お礼

回答有難うございます。
この方法が、高校生には適切な方法と思います。
それにしても、意外と面倒で、考えさせられる問題でした。