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1から100までのカード
noname#227653の回答
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この問題を解く際には次のことを覚えておかなければなりません。 それは2、4、8、16、32など2を何回かかけた数だけカードがあるときは、最初に捨てたカードのひとつ前のカードが最後に残る、ということです。 例えば、カードが2枚あるとき、1を捨てると2が残りますね。つまり、1を最初に捨てると、そのひとつ前の2が残るのです。 カードが4枚あるとき、1を捨てて2を下に置き、3を捨てて4を下に置きます。残っているのは2と4ですから、2を捨てると4が残ります。つまり、1を最初に捨てると、そのひとつ前の8が残るのです。 カードが8枚あるとき1,3,5,7をまず捨てるので、2、4,6,8が残ります。その中から2と4を捨てるので6と8が残り、最後に6を捨てると8が残りますね。つまり、1を最初に捨てると、そのひとつ前の16が残るのです。 カードが16枚の時については自分で試してみて下さい。1から16までの数字を書き、1からひとつおきに×で消していくと最後に16が残ります。つまり、1を最初に捨てると、そのひとつ前の16が残るのです。 とすると、最初に捨てるカードを1以外の数にしても、このことは変わらないはずですね。16枚のカードがあったとき、最初に3を捨てれば2が最後に残るし、12を最初に捨てれば11が最後に残るのです。 というわけで、「2を何回かかけた数だけカードがあるときは、最初に捨てたカードのひとつ前のカードが最後に残る」ということをしっかり頭に入れて下さい。 ちなみに、2を何回かかけた数以外の数だとこうはなりません。これも試しにやってみるといいですよ。 では100枚あるときはどうするか。 まず、何枚かカードを捨てて、残りの枚数が「2を何回かかけた数」になるようにします。100までの数で、2を何回かかけた数はいくつかありますが、いちばん大きいのは64ですね。そこで、残ったカードの枚数が64になるまでカードを捨てます。100-64で36枚捨てればいいのです。1,3,5,7,9…と36枚捨てていきます。つまり奇数を36個捨てればいいので、最後に捨てる数は36×2-1で71になります(この計算はわかりますか。わからなかったら今は1から奇数を36個数えてもかまいません)。 というわけで、1から71まで36枚の奇数を捨てたので、残りが64枚になりました。ここでさっきやったことを思い出して下さいね。「2を何回かかけた数だけカードがあるときは、最初に捨てたカードのひとつ前のカードが最後に残る」です。今ここにあるのは64枚、つまり「2を何回かかけた数」ですから、このあと「最初に捨てたカードのひとつ前のカードが最後に残る」のです。そして、さっき71を捨てました。ということは、次に捨てるのは73ですね。だからその「ひとつ前のカード」つまり72が最後に残るのです。これがこの問題の解き方です。 というわけで、このような問題が出てきたら、まず何枚か捨てて「2を何回かかけた数」だけ残るようにすることが大切です。 分かりにくいところがあったら補足をつけて下さいね。
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お礼
ご丁寧に解説していただきありがとうございました。 わかりやすかったです。