１から100までのカード

質問

1から100まで数字を書いたカードがあります。
上から1,2,3........100と積んであります。
一番上のカードをすて、次のカードを残っているカードの一番下におきます。
これを繰り返すと最後まで残る数字は何ですか？

答えは72ですが、考え方がわかりません。教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

noname#227653 · ベストアンサー

この問題を解く際には次のことを覚えておかなければなりません。
それは２、４、８、16、32など２を何回かかけた数だけカードがあるときは、最初に捨てたカードのひとつ前のカードが最後に残る、ということです。
例えば、カードが２枚あるとき、１を捨てると２が残りますね。つまり、１を最初に捨てると、そのひとつ前の２が残るのです。
カードが４枚あるとき、１を捨てて２を下に置き、３を捨てて４を下に置きます。残っているのは２と４ですから、２を捨てると４が残ります。つまり、１を最初に捨てると、そのひとつ前の８が残るのです。
カードが８枚あるとき１，３，５，７をまず捨てるので、２、４，６，８が残ります。その中から２と４を捨てるので６と８が残り、最後に６を捨てると８が残りますね。つまり、１を最初に捨てると、そのひとつ前の16が残るのです。
カードが16枚の時については自分で試してみて下さい。１から16までの数字を書き、１からひとつおきに×で消していくと最後に16が残ります。つまり、１を最初に捨てると、そのひとつ前の16が残るのです。
とすると、最初に捨てるカードを１以外の数にしても、このことは変わらないはずですね。16枚のカードがあったとき、最初に３を捨てれば２が最後に残るし、12を最初に捨てれば11が最後に残るのです。
というわけで、「２を何回かかけた数だけカードがあるときは、最初に捨てたカードのひとつ前のカードが最後に残る」ということをしっかり頭に入れて下さい。
ちなみに、２を何回かかけた数以外の数だとこうはなりません。これも試しにやってみるといいですよ。

では100枚あるときはどうするか。
まず、何枚かカードを捨てて、残りの枚数が「２を何回かかけた数」になるようにします。100までの数で、２を何回かかけた数はいくつかありますが、いちばん大きいのは64ですね。そこで、残ったカードの枚数が64になるまでカードを捨てます。100－64で36枚捨てればいいのです。１，３，５，７，９…と36枚捨てていきます。つまり奇数を36個捨てればいいので、最後に捨てる数は36×２－１で71になります（この計算はわかりますか。わからなかったら今は１から奇数を36個数えてもかまいません）。
というわけで、１から71まで36枚の奇数を捨てたので、残りが64枚になりました。ここでさっきやったことを思い出して下さいね。「２を何回かかけた数だけカードがあるときは、最初に捨てたカードのひとつ前のカードが最後に残る」です。今ここにあるのは64枚、つまり「２を何回かかけた数」ですから、このあと「最初に捨てたカードのひとつ前のカードが最後に残る」のです。そして、さっき71を捨てました。ということは、次に捨てるのは73ですね。だからその「ひとつ前のカード」つまり72が最後に残るのです。これがこの問題の解き方です。

というわけで、このような問題が出てきたら、まず何枚か捨てて「２を何回かかけた数」だけ残るようにすることが大切です。

分かりにくいところがあったら補足をつけて下さいね。

お礼

ご丁寧に解説していただきありがとうございました。
わかりやすかったです。

回答No.1

mshr1962

1週目　奇数のカードが除外される。（2,4,6,8・・・94,96,98,100の50枚）
2週目　２で割った商が奇数のカードが除外される。（4,8,12,16・・・88,92,96,100の25枚）
3週目　４で割った商が奇数のカードが除外される。（8,16,24,32・・・72,80,88,96の12枚）
4週目　８で割った商が偶数のカードが除外される。　※100で1枚ずれるため（8,24,40,56,72,88の6枚）
5週目　＋８を１６で割った商が偶数のカードが除外される。（8,40,72の3枚）
6週目　偶数番のカードが除外される。（8,72の2枚）
7週目　奇数番のカードが除外される。（72）

お礼

ご回答ありがとうございました。