数列の問題です

質問

数列の問題です。次のように定義される数列｛an｝の一般項をもとめよ。a1＝8、an＝anー1／(nー1）anー1＋１(n＝2、3‥）
逆数でやる事まではわかったのですがその先がうまく解けません。どなたか教えてください。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

左下付き添字は紛らわしいので b[n-1]のように［ ］を付けて括弧の中に添字を書く事にします。

b[1]=1/a[1]=1/8,
b[n]=1/a[n]=(n-1)+b[n-1]
b[n-1]=1/a[n-1]

b[n]-b[n-1]=n-1
b[n-1]-b[n-2]=n-2
　…
b[3]-b[2]=2
b[2]-b[1]=1

辺々加えると、左辺は斜め方向の要素が打ち消してb[n]とb[1]だけが残るから

b[n]-b[1]=Σ[k=1, n-1] k =n(n-1)/2
b[n]=b[1]+n(n-1)/2=(1/8)+n(n-1)/2=(1-4n+4n^2)/8=(1/8)(2n-1)^2
∴ a[n]=1/b[n]=8/(2n-1)^2 (n= 1, 2, 3, …)

お礼

早々のご回答ありがとうございます。助かりました。感謝致します。