数学 ω の問題がわかりません…

質問

方程式x∧3＝1の虚数解の一つをωとするとき、(1＋ω∧2)∧3(2＋ω)＋(1＋ω)∧3(2＋ω∧2)の値を求めよ。

答えはー3なのですがそこまでの解き方を教えてほしいです。

どうがおねがいします_(_^_)_

回答No.3

stomachman

ωがx^3 = 1の虚数解だというのは、
　　ω^3 = 1, ω≠1
だということです。だから式を普通に展開し、ただしω^3が出てきたら1に置き換えるだけ。たとえば
　　ω^7 = (ω^3)(ω^3)ω = 1×1×ω = ω
という風にね。

回答No.2

gohtraw

ωはｘ＾３＝１の解なので、ω＾３＝１です。・・・（１）

また、
ｘ＾３－１＝（ｘ－１）（ｘ＾２＋ｘ＋１）＝０
であり、これよりｘ＝１、ｘ＾２＋ｘ＋１＝０
なので、ωは
ｘ＾２＋ｘ＋１＝０の解。従って
ω＾２＋ω＋１＝０　・・・（２）

（２）より
(1＋ω＾2)＾3(2＋ω)＋(1＋ω)＾3(2＋ω＾2)
　　　　　＝（－ω）＾３（２＋ω）＋（－ω＾２）＾３（－ω＋１）
　　　　　＝－ω＾３（２＋ω）＋－ω＾６（－ω＋１）　・・・（３）
（１）より（３）は
－１・（２＋ω）－１＊（－ω＋１）＝－２－ω＋ωー１＝－３

回答No.1

asuncion

x^3 - 1 = 0 ... (1)
左辺は(x - 1)(x^2 + x + 1)と因数分解できるので、
(1)の虚数解ωは、ω^2 + ω + 1 = 0 ... (2)を満たす。

(1 + ω^2)^3・(2 + ω) + (1 + ω)^3・(2 + ω^2) ... (3)の値を求める。
(2)より、1 + ω^2 = -ωであるから、
(1 + ω^2)^3 = (-ω)^3 = -ω^3 = -1
よって、(3)の第1項 = -(2 + ω) = -ω - 2

(2)より、1 + ω = -ω^2であるから、
(1 + ω)^3 = (-ω^2)^3 = -(ω^3)^2
ここで、ω^3 = 1であることを用いると、
(1 + ω)^3 = -1
また、ω^2 = -ω - 1であるから、
2 + ω^2 = -ω + 1
よって、(3)の第2項 = ω - 1

∴与式 = -ω - 2 + ω - 1 = -3