答えを導く過程について

質問

r=a(1+c*cos(t))　0<t<1 という式が与えられていて、F=m(r"-rt'^2),r^2*t'=h　の時、F=mh^2*a{-3/r^4 +2a(1-c^2)/r^5　を導く過程がわかりません(><)

誰か教えて下さい…

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

r"やt'が、何で微分したやつかは分からないので,とりあえず、xで微分した,ということにします
また、a,c,m,hは定数、と思って、導きます。(でも、細かい計算は自分でしてくださいね。)

r^2*t'=hより、t'=h/r^2・・・☆
これをxで微分して、t"=-2hr'/r^3 ・・・◎

r=a(1+c*cost)をxで微分して,r'=-ac sint t'・・・△
さらにxで微分して、
r"=-(ac cost)(t')^2-ac sin t"　・・・※
=(a-r)(t')^2-ac sint t"・・・◇

なお、※から◇の変形で、r=a(1+c*cost)より,ac cost=r-aとなることを利用しました。(この先で、もう一度、この事を利用します)

☆から、t'はrだけで表されます。
(a,c,m,hといった定数は考えてません。次からも同様です)

☆を△に代入すると,t"はsintとrだけで表されます。

△を◎に代入すれば,t"もsintとr だけで表されます。

☆と◎を◇に代入すれば,r"はsintとrだけで表されます。
ただ、r"中のsinはsin^2の形で含まれるので,
(ac sint)^2=(ac)^2-(ac cost)^2=(ac)^2-(r-a)^2
を使うと,(sint)^2がrで表されるので、
結局、r"はrだけで表すことができます。

よって、r"とt'がr(および、a,c,m,h)で表された事になるので、F=m(r"-rt'^2)にこれらのr",t'を代入すれば,

Fはr,a,c,m,hの式で表されて、

F=mh^2*a{-3/r^4 +2a(1-c^2)/r^5}

となる(はず)です。

(私は細かい計算をしていないので、どうしても、F=mh^2*a{-3/r^4 +2a(1-c^2)/r^5}にならなければ補足をください)

お礼

なりました！！

問題も今から読み直せば言葉足らずなのに問いてくださってありがとうございます。私が解いたときは微妙に微分が間違っていてつまづいてました…

本当にありがとうございました。