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三角方程式
1≦m≦10、m∈Z、0≦t≦2πをみたすm、tについて cos3t=cos(m-1)t かつ cos3t-cos(m+2)t+cos(m-1)t-1=0 をみたす(m,t)をすべて求めよ という問題があるのですが(計算過程ですので元の問題そのままではありません)、解き方がわからなくて困っています 条件式の前者を後者に代入し、 2cos3t-cos(m+2)t=1 などと変形してみたりしたのですが和積でまとめようとしても、係数が違うのでできませんし、=0ではなく=1なところもネックです 何かうまいとき方があればぜひご教授ください
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- yyssaa
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済みません、間違えました。 ANo.4の回答は無視して下さい。
お礼
お礼が遅くなり大変申し訳ありません ご回答ありがとうございます
- yyssaa
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cos3t=cos(m-1)t cos3t-cos(m+2)t+cos(m-1)t-1=0 より cos3t-cos(m+2)t+cos3t-1=0 2cos3t-cos(m+2)t-1=0 3t=(m-1)tより4t=mt、(m+2)t=mt+2t=4t+2t=6t よって上式は 2cos3t-cos6t-1=0 2cos3t-(cos3tcos3t-sin3tsin3t)-1=0 2cos3t-(cos^2(3t)-sin^2(3t))-1=0 2cos3t-(cos^2(3t)-(1-cos^2(3t)))-1=0 2cos3t-(2cos^2(3t)-1)-1=0 cos3t-cos^2(3t)=0 cos3t(1-cos(3t))=0 cos3t=0、cos(3t)=1 0≦t≦2πより0≦3t≦6π よって 3t=0、π/2、3π/2、2π、5π/2、7π/2、4π、9π/2、11π/2、6π cos3t=cos(m-1)tよりmは (m-1)t=3t、(m-1)t=2π±3t、(m-1)t=4π±3t、(m-1)t=6π-3t、の いずれかを満足しなければならない。 3t=0の場合、(m-1)t=3tよりmは1≦m≦10のすべての値 3t=π/2、t=π/6の場合、 (m-1)t=3tよりm=4、 (m-1)t=2π±3tよりm=10、(m=16は範囲外) 3t=3π/2、t=π/2の場合、 (m-1)t=3tよりm=4、 (m-1)t=2π±3tよりm=2、8 (m-1)t=4π±3tよりm=6、(m=12は範囲外) (m-1)t=6π-3tよりm=10 3t=2π、t=2π/3の場合 (m-1)t=3tよりm=4、 (m-1)t=2π±3tよりm=1、7 (m-1)t=4π±3tよりm=4、10 (m-1)t=6π-3tよりm=7(上と重複) 3t=5π/2、t=5π/6の場合 (m-1)t=3tよりm=4、 (m-1)t=2π±3tよりm=2/5、32/5 (m-1)t=4π±3tよりm=14/5、44/5 (m-1)t=6π-3tよりm=26/5 後は同様に計算して下さい。
お礼
お礼が遅くなり大変申し訳ありません ご回答ありがとうございます
- Knotopolog
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2cos(3t)-cos(m+2)t=1 で，いいと思いますが・・・． 後は，変形して， m+2 = arccos[(2cos(3t)-1)/t] になります．ここで，m は，1≦m≦10、m∈Z により， m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. でしょうから，m+2 = arccos[(2cos(3t)-1)/t] に m を順番に入れて， 3 = arccos[(2cos(3t)-1)/t] 4 = arccos[(2cos(3t)-1)/t] ・・・・・・・・ 12 = arccos[(2cos(3t)-1)/t] を１０回計算すると，１０個の t が得られて終わりです．
お礼
お礼が遅くなり大変申し訳ありません ご回答ありがとうございます arccosというのは確かcosの逆関数でしたよね 高校数学の範囲で出来ればお応えいただきたいと思います
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
＞計算過程ですので元の問題そのままではありません なら、元の問題を書いた方が良いんじゃないか。 ここまでの君の推論が正しい、という保証はない。この時点で既に間違ってる事もありうる。
お礼
お礼が遅くなり大変申し訳ありません ご回答ありがとうございます おっしゃるとおりですね 元の問題は東京大学2010年理科前期第5問です 以下URLを貼ります http://www.j3e.info/ojyuken/math/php_q.php?name=tokyo&v1=1&v2=2010&v3=1&y1=2010&n1=1&y2=2010&n2=2&y3=2010&n3=3&y4=2010&n4=4&y5=2010&n5=5&y6=2010&n6=6&y7=0000&n7=0
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