整数環 ０×∞を含む式

質問

以下において、数はすべて整数とします。
論理式では"∈Z"という記述を略しています。

まず、∞を含む等式とεδ論理式の対応について確認します。
　f(∞) = a
という等式は、
　∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |f(x)-a|<ε)
という論理式に対応しており、これが真なら元の等式は成立すると考えます。
　f(∞) = ∞
という等式は、
　∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ f(x)>ε)
という論理式に対応しており、これが真なら元の等式は成立すると考えます。

たとえば、
　Σ[k=1,∞]1 = ∞
という等式は、
　∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ Σ[k=1,x]1>ε)
という論理式に対応し、これは真であるから、元の等式は成立します。

以上の規則に従って考えた場合、
質問１：この等式は成立しますか？
　1 + Σ[k=1,∞]1 = ∞
　Σ[k=1,∞]1 + 1 = ∞

□私の考え
与えられた等式は、それぞれ
　∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ 1 + Σ[k=1,x]1>ε)
　∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ Σ[k=1,x]1 + 1>ε)
に対応し、いずれも真であるから、どちらの等式も成立する。

質問２：この等式は成立しますか？
　0 × Σ[k=1,∞]1 = 0

□私の考え
乗法は
　a × b = Σ[k=1,b]a
で定義されている。ただし、b = 0 ならば
　a × 0 = 0
とする。（aとbを逆にする考え方もある）

たとえば
　2 × 3 = Σ[k=1,3]2 = 2 + 2 + 2 = 6
となる。

任意の正数xに対し
　Σ[k=1,x]1 = x
であるから、
　0 × Σ[k=1,x]1 = Σ[k=1,Σ[l=1,x]1]0 = Σ[k=1,x]0
となる。

よって、与えられた等式は
　∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |Σ[k=1,x]0|<ε)
に対応し、これは真であるから、元の等式は成立する。

等式と論理式の対応の仕方に問題があるか、あるいは計算ミスなどがあれば指摘してください。

回答No.4

jmh

> その意味で、”等式”と表現したのは不適切だったかもしれません。
この記法を lim に直すには、
1. 左辺に ∞ が現れたら、
2. すべての ∞ をそれぞれ異なる（未使用の）文字ｘ，ｙ，…，ｚに置き換え、
3. 左辺全体を lim [ｘ→∞，ｙ→∞，…，ｚ→∞] で囲う
とできそうです。この逆の操作をして lim から借用すればよいと思います。

お礼

変数が２つの場合を考えれば十分だと思うので、以下はそれに従います。

　lim[x→∞,y→∞]f(x,y) = a
が成り立つには、
　∀ε>0 ∃δ>0 ∀x ∀y (x>δ∧y>δ ⇒ |f(x,y)-a|<ε)
が真であることを示せば良いのですね。

あるいは、
　lim[x→∞,y→∞]f(x,y) = ∞
という式は、
　∀ε>0 ∃δ>0 ∀x ∀y (x>δ∧y>δ ⇒ f(x,y)>ε)
になります。

f(x,y)が演算子□を含み
　g(x) □ h(y) = f(x,y)
であった場合に、
　lim[x→∞]g(x) □ lim[y→∞]h(y) = lim[x→∞,y→∞]f(x,y)
と定義すれば良さそうですね。
これで、部分的なlimにも論理式による意味が与えられます。

今回の質問をこの定義で表すなら、質問１は
　1 + (lim[x→∞]Σ[k=1,x]1) = ∞
　(lim[x→∞]Σ[k=1,x]1) + 1 = ∞
となります。あるいは、Σを使う意味がないので
　1 + (lim[x→∞]x) = ∞
　(lim[x→∞]x) + 1 = ∞
で構わないですね。
もちろん、どちらも成り立ちます。

質問２は
　0 × lim[x→∞]Σ[k=1,x]1 = 0
あるいは
　0 × lim[x→∞]x = 0
となり、当然これも成り立ちます。

回答ありがとうございました。