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数3 関数と極限
info222_の回答
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設問11について 左下添字に[ ]を付けて bn → b[n], PnQn → P[n]Q[n] などと書く事にします。 AB=AP[1]=a=b[1], P[1]Q[1]=P[1]P[2]=b[2], P[2]Q[2]=P[2]P[3]=b[2], … , P[n]Q[n]=P[n]P[n+1]=b[n], … 弧P[1]B=c[1], 弧P[2]Q[1]=c[2], … , 弧P[n]Q[n-1]=c[n], … とおくと ∠A=π/4 [ラジアン]なので b[1]=a, c[1]=aπ/4, c[2]=b[2]π/4, c[n]=b[n]π/4, a-b[2]=a/√2 より b[2] = (2-√(2))a/2 △CAB∽△CP[1]Q[1]∽△CP[2]Q[2]∽ … ∽△CP[n]Q[n]∽ …, 扇形AP[1]B∽扇形P[1]P[2]Q[1]∽扇形P[2]P[3]Q[2]∽ … ∽扇形P[n]P[n+1]Q[n]∽ … より r=b[2]/b[1]=c[2]/c[1]= … =b[n+1]/b[n]=c[n+1]/c[n]= … 0<r<1 r=b[2]/b[1]= (2-√(2))a/(2a)= (2-√(2))/2 弧の総和S=Σ[n=1,∞] c[n] =Σ[n=1,∞] c[1] r^(n-1) =c[1] Σ[n=1,∞] r^(n-1) =(aπ/4)*1/(1-r) =(aπ/4)/(1-(2-√(2))/2) =(aπ/2)/(2-(2-√(2))) =aπ√(2)/4 …(答)
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