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数3 関数と極限
info222_の回答
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設問１０について (1) S=(1/2+1/3)+(1/2)(1/2+1/3)+(1/2^2)(1/2+1/3)+(1/2^3)(1/2+1/3)+ … =(1/2+1/3){1+1/2+1/2^2+1/2^3+ … } =(5/6)*1/(1-(1/2)) =5/3 (2) S=Σ[n=1, ∞] 2/{√(n+2)+√(n) } ← 分母の有理化 =Σ[n=1, ∞] 2*{√(n+2)-√(n) }/{(n+2)-n } =lim[N→∞]Σ[n=1, N] {√(n+2)-√(n) } = lim[N→∞] {√(3)-√(1) } + { √(4)-√(2) } + { √(5)-√(3) } + … + { √(N+1)-√(N-1) } + { √(N+2)-√(N) } プラス、マイナス相殺しあって、順に消えて行くから =lim[N→∞] √(N+2)+√(N+1) -√(2)-1=∞ (発散) (3) S=Σ[n=1, ∞] (n^2-1)/(n(n+3)) =(1/9)Σ[n=1,∞] (n-3)/n +(9/8)Σ[n=1,∞] n/(n+3) =(1/9){-2-(1/2)+Σ[n=4,∞] (n-3)/n } +(9/8)Σ[n=1,∞] n/(n+3) =-(5/18)+(1/9)Σ[n=4,∞] (n-3)/n +(9/8)Σ[n=1,∞] n/(n+3) =-(5/18)+∞+∞=∞（発散）
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