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トーラスのガウス写像の問題
ramayanaの回答
- ramayana
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****** １ 単位球面の単位法線ベクトル ****** 単位球面をとりあえず Y(u,v) = ( cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u) ) とパラメータ表示することにします。 (∂Y/∂u)(u,v) と (∂Y/∂u)(u,v) すなわち ( -sin(u)cos(v), -sin(u)cos(v), cosu ) と ( -cos(u)sin(v), cos(u)cos(v), 0 ) は、cos(u) ≠ 0 のとき一次独立です。このとき、単位球面上の点 Y(u, v) における接平面は、これら 2 つのベクトルで張られます。 また、このとき、Y(u, v) における単位法線ベクトルは、これらの外積をとって、 ( cos(u)^2cos(v), cos(u)^2sin(v), cos(u)sin(u) ) の定数倍です。cos(u) で割れば ( cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u) ) となりますが、長さが 1 ですから、これは単位法線ベクトルです。cos(u) = 0 のときもこれが単位法線ベクトルになることが簡単に確かめられます。よって、逆向きも考えて、Y(u,v) における単位法線ベクトルは、次の 2 つです。 ( cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u) ) ( -cos(u)cos(v), -cos(u)sin(v), -sin(u) ) ****** ２ トーラスの単位法線ベクトル ****** ANo.3 の補足の記号を使います。 トーラス上の点 X(u, v) における接平面は、(∂X/∂u)(u,v) と (∂X/∂u)(u,v) すなわち ( -rsin(u)cos(v), -rsin(u)sin(v), rcos(u) ) と ( (R+rcos(u))cosv, (R+rcos(u))sin(v), 0 ) で張られます。 X(u, v) における単位法線ベクトルは、これらの外積をとって、 ( -rcos(u)(R+rcos(u))cos(v), -rcos(u)(R+rcos(u))sin(v), -rsin(u)cos(v)(R+rcos(u))cos(v) - rsin(u)sin(v)(R+rcos(u))sin(v) ) の定数倍です。-r(R+rcos(u)) で割れば ( cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u) ) となりますが、長さが 1 ですから、これは単位法線ベクトルです。よって、逆向きも考えて、X(u,v) における単位法線ベクトルは、次の 2 つです。 ( cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u) ) ( -cos(u)cos(v), -cos(u)sin(v), -sin(u) ) ****** ３ ガウス写像 ****** ガウス写像によってトーラス上の点 X(u, v) が単位球面上の点 Y(u', v') に対応するものとします。両者の単位法線ベクトルが一致するようにすればいいので、 ( cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u) ) = ( cos(u')cos(v'), cos(u')sin(v'), sin(u') ) 又は ( cos(u)cos(v), cos(u)sin(v), sin(u) ) = ( -cos(u')cos(v'), -cos(u')sin(v'), -sin(u') ) となり、これらから次の 2 つのケースが得られます。 (1) ( u', v' ) = ( u, v ) (2) ( u', v' ) = ( -u, v+π ) (1) のケースでは X(u,v) が Y(u,v) に対応し、(2) のケースでは X(u,v) が -Y(u,v) に対応します。 どっちのケースでも X(u,v) が -X(u,v) に対応することになりません。よって、元々のご質問については、トーラス上の特殊な点に関するものか、あるいはテキストの不備が疑われます。「球面ではガウス写像は-1倍」というのも意味不明ですね。
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補足
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