整数環 0 × ∞

質問

実数で 0 と ∞ の積を考えた時、たとえば
　lim[x→∞]1/x = 0
　lim[x→∞]x = ∞
という例を挙げれば
　0 × ∞ = lim[x,y→∞]y/x
を不定として扱うことは理解できる。

同じことを整数で行うと
　lim[x→∞]0 = 0
　lim[x→∞]x = ∞
となり
　0 × ∞ = lim[x,y→∞]0y = 0
となります。

整数環では 0 × ∞ = 0 と考えて良いのでしょうか？

回答No.4

funoe

>　lim[x→∞]x = ∞
>という式は正しいが、定義も知らずにそう答えている

全くその通りです。実数や、上記の式の記述の定義をご存じとは思えない。
実際「∞」は実数ではないのに、「実数で 0 と ∞ の積を考えた時」と書いているではないですか。

もういちど書きますが、"lim[x→∞]x"　も "∞"　も「実数」ではありません。

あなたのいう、∞という元が含まれ積が定義されているという"実数もどき"の定義を教えてください。

お礼

"lim[x→∞]x"　も "∞"　も「実数」でないことは、十分承知ですよ。

∞という元が含まれ積が定義されているという"実数もどき"が存在しないことは、
結果が不定になることで明示してます。

「実数で 0 と ∞ の積を考えた時」とは、「∞」は実数と言ってるのではなく、実数という枠組みで考えた場合という意味です。
実数の極限値としての∞と複素数での∞には違いがありそうですし、そういう区別のためでもあります。

> 実数や、上記の式の記述の定義をご存じとは思えない。

ここは議論の場ではないので、逆質問は、質問内容が不明な場合だけにしてください。
主観として思えないことは否定しようもありませんが、その場合の望ましい回答は、
自分の知ってる内容を示すことですね。

そうでなければ、私もあなたに対し、同じ見方をするしかありませんから。

回答ありがとうございました。

回答No.3

funoe

詭弁を弄されていますね、自覚していますか？

「２行目以降に意味が無いということは」など、誰も書いていません。

「2行目以降を読む意味がない」と書いているのです。

1行目の時点で、未定義の用語が出現しているのでその定義をしてほしいと言っているのです。
定義が済まない内に、2行目以降に進むことができない、といっているのです。

---
もちろん、2行目以降も
　lim[x→∞]x = ∞　の解釈など、明らかに誤解していると思われる点が見受けられます。
　この式は決して「左辺と右辺が実数として等しい」ことなど意味していません。
　定義を確認すればすぐにわかることです。
　式を「印象」で理解しているように見受けられます。定義をご確認ください。

お礼

未定義の用語と言ってるのが矛盾してると思うのですが。
　lim[x→∞]x = ∞
という式は正しいが、定義も知らずにそう答えている、とでも言うつもりですか？

∞ という記号は未定義だから、その記号を使った式は無意味だ、なのか、
∞ という記号は既知だから、その記号を使った式も分かる、のどちらかなのでは？

∞ とは、際限なく大きくなる数列を表す記号に過ぎません。
でも、実数の定義から言えば、0 も 0 という値に収束するコーシー列を表す記号に過ぎません。

ですから、私は２つの数列の積が求められるのかどうか、という質問をしてるつもりなのですが。
掛け算を数列の積と考えることは間違いですか？

回答ありがとうございました。

回答No.2

muturajcp

環の定義から
環は
和(+)に関して加法群とならなければならない
任意の環の要素a,b,cに対して
1),(a+b)+c=a+(b+c),(結合法則が成り立つ)
2),0+a=a+0=aとなる加法単位元0が存在する
3)a+(-a)=(-a)+a=0となるaの加法逆元-aが存在する
∞は環の要素ではない
∞がもし環(加法群)の要素ならば
∞の加法逆元-∞が存在して
∞+(-∞)=0
とならなければならない
一方
lim_{x→∞}(1+x)=∞
だから
1+∞=∞
となるが
(1+∞)+(-∞)=∞+(-∞)=0
一方(加法群の)結合法則から
(1+∞)+(-∞)=1+{∞+(-∞)}=1
1=(1+∞)+(-∞)=0
1=0
となって矛盾する。
∴
∞は環の要素ではないから
「～環では0×∞=0」は誤りである

お礼

x,y を方程式
　(x-1)(x-2) = 0
　(y-1)(y-2) = 0
の解とする。
x,y は 1 または 2 であるから、整数である。
でも、x と y は、別々の方程式の解であるから、
　x - y = 0
ではない。

∞ も、単なる
　lim[x→∞]x = ∞
という式の答を表す記号に過ぎないから、別の式の答と同じ値とは限らない。

そして、最初の方程式の x が
　0 × x = 0
であることが言えるように、
　0 × ∞ = 0
ということは言えるかもしれませんね。

回答ありがとうございました。

回答No.1

funoe

私（達）の知っている「実数」には「∞」という元が含まれていません。
したがって２行目以降を読む意味がありません。

まず、ご質問の１行目の理解が必要です。
fusem23さんのいう、「∞」という元が含まれる「実数」と呼んでいるものはどのように定義されているのですか？

＊）いつものように、後出しじゃんけんのような説明が続くのは飽き飽きなので、最初に提示願います。

お礼

２行目以降に意味が無いということは
　lim[x→∞]1/x = 0
　lim[x→∞]x = ∞
という式は、あなたの知る限り誤りということですね？

なら、回答は要りません。

ありがとうございました。