x^4+y^4

質問

x+y, x^2+y^2, x^3+y^3 はみな整数だが
x^4+y^4 は整数ではない、をみたすような
実数 x, y の例ってどんなものがありますか?

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

x = 1/√2 , y = -1/√2
とすると
x + y = 0
xx + yy = 1
xxx + yyy = 0
ですが
xxxx + yyyy = 1/2
となります。

見つけ方としては、
xx + yy = (x + y)^2 - 2xy
xxxx + yyyy = (xx + yy)^2 - 2 xy xy
に注目して、
2xy は整数だが 2 xy xy は整数でないような組を考えました。

お礼

ありがとうございます。
とても納得いたしました。

補足

x+y, x^2+y^2, x^3+y^3, x^4+y^4
がすべて整数であれば、任意の自然数 n で
x^n+y^n は整数である、と言えますか？

回答No.4

tmppassenger

> x+y, x^2+y^2, x^3+y^3, x^4+y^4
> がすべて整数であれば、任意の自然数 n で
> x^n+y^n は整数である、と言えますか？

どこまで考えましたか？

お礼

また時間があれば考えてみます。

回答No.3

staratras

単純化して例を探してみました。
まず「天の声」からy=-x とします。
このとき　x+y=x^3+y^3=0 (整数）です。
x^2+y^2=2x^2、x^4+y^4=2x^4 なので
2x^2は整数だが、2x^4は整数でない　x^2を見つければよい。
x^2が1/2の奇数倍、つまりnが負でない整数で　x^2=(2n+1)/2　ならば
2x^2=(2n+1)、　2x^4=2n^2+2n+1/2　となり題意を満たします。　
x=±(√((2n+1)/2）、y=∓(√((2n+1)/2）(複合同順）です。
n=0 なら　(x,y)=(±1/√2,∓ 1/√2）(複号同順）
n=1 なら　(x,y)=(±√3/√2,∓ √3/√2）(同）…　
以下いくらでもあります。

お礼

ありがとうございました。
納得いたしました。

補足

x+y, x^2+y^2, x^3+y^3, x^4+y^4
がすべて整数であれば、任意の自然数 n で
x^n+y^n は整数である、と言えますか？

回答No.1

asuncion

x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xyが整数で、
x + yが整数であるから、xyは整数である。
このとき、
x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2
は整数 - 整数の形をしているから整数である。
よっておたずねの例は存在しない、というのが当方の見解です。
正しいか間違いかはわかりません。

お礼

ありがとうございます。