I=(X+Y-1)(X-Y+1)についての問題です。ただしx,yを０以

質問

I=(X+Y-1)(X-Y+1)についての問題です。ただしx,yを０以上の整数とし、x+y=X,xy=Yとする。
(i)I=8を満たすx,yの組(x,y)を求めてください。
(ii)pを素数とする。I=pを満たすx,y,pの組(x,y,p)を求めてください。
説明もお願いします。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

x,y>=0なので定義よりX,Yは非負の整数となる
(i)
(X+Y-1)+(X-Y+1)=2X=非負の偶数
∴I=(X+Y-1)(X-Y+1)=4*2=2*4
∴(X+Y-1,X-Y+1)=(4,2)or(2,4)
∴(X,Y)=(3,2)or(3,0)
(X,Y)=(3,2)の時,解と係数の関係より,x,yを2解に持つ2次方程式は,
　t^2-3t+2=(t-1)(t-2)=0
　∴(x,y)=(1,2)or(2,1)
(X,Y)=(3,0)の時,同様にして
　t^2-3t=t(t-3)=0
　∴(x,y)=(3,0)or(0,3)
以上から,
(x,y)=(3,0)、(2,1)、(1,2)、(0,3)

(ii)
Iが素数pなので,素因数分解のしかたはp*1のみ。
一方、(X+Y-1)+(X-Y+1)=2X=非負の偶数
∴(X+Y-1,X-Y+1)=(p,1)or(1,p)
∴(X,Y)=((p+1)/2,(p+1)/2)or((p+1)/2,(3-p)/2)
題意より素数p=2は不適。よってpは奇数。
(p+1)/2=mとおくと、(X,Y)=(m,m)or(m,2-m)。
またp>=3なので、m>=2。よって

(X,Y)=(m,m)の時,x+y=xy=mなので、
　xy-(x+y)=(x-1)(y-1)-1=0
　x,yは非負整数であることから、
　(x-1,y-1)=(1,1)or(-1,-1)
　∴(x,y,m)=(2,2,4)or(0,0,0)
　m>=2なので(0,0,0)は不適。
(X,Y)=(m,2-m)の時,yが非負なのでm=2。∴X=2,Y=0
　∴(x,y)=(2,0)or(0,2)

以上から,
(x,y,p)=(2,0,3)、(0,2,3)、(2,2,7)

お礼

わかりやすい解説ありがとうございました。
またよろしくおねがいします。