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2重積分について(改訂版)
info22_の回答
前の投稿URLの http://okwave.jp/qa/q8499025.html のANo.2で解答済み >>正しい答えは(３/８、８/５）です。 >このy座標の8/5は1以上で、重心が図形の外に存在し、明らかに間違いですね。 >正しい重心の座標(xg,yg)は(3/8,2/5) です。 （添付図参照） >以下、導出計算： >M=∫[0,1] (1-x^2)dx=[x-(1/3)x^3][0,1]=2/3 ...(★1) >Mx=∫[0,1] x(1-x^2)dx=[(1/2)x^2-(1/4)x^4][0,1]=1/4 >xg=Mx/M=3/8 ...(★2) >My=∫[0,1] y√(1-y)dy >部分積分すると >=[y(-2/3)(1-y)^(3/2)][0,1]+(2/3)∫[0,1] (1-y)^(3/2)dy >=0+(2/3)[-(2/5)(1-y)^(5/2)][0,1] >=(2/3)(2/5)=4/15 >yg=My/M=(4/15)/(2/3)=2/5 ...(★3) >(答)重心の座標(3/8,2/5) ...(★4) 質問者の画像の解答の間違い箇所 [1] y=1-x^2のグラフは間違い 上に凸な放物線なのに直線のグラフを書いているところが間違い [2] 面積Sは三角形の領域の面積ではない。 上に凸な放物線下の面積を求めないといけない。 S=∫[0,1] (1-x^2)dx=M=2/3 ...((★1)参照) [3] xo=2∫[0,1]∫[1,1-x^2] xdydx ２箇所間違い。Sの代入値の間違いとyの積分範囲が間違い。 >それに対応するyの範囲は１から1-x^2だと思うのですが・・・ これが間違い。正しいyの範囲は[0～1-x^2] >これで計算しても答えが出ません >yにいたってはマイナスが出てくる始末です。 yの積分範囲が間違っていることが原因。 (積分範囲の下限と上限の大小関係が逆「1>1-x^2」が直接の原因。このことからも積分範囲の間違いに気が付くべきです。） 正しい式は xo=(1/S)∫[0,1]∫[0,1-x^2] xdydx, S=2/3 =(3/2)∫[0,1] x[y][0,1-x^2] dx =(3/2)∫[0,1] x(1-x^2)dx =(3/2)[x^2/2-x^4/4][0,1] =(3/2)(1/4) =3/8 =xg ((★2)参照) [4] yo=2∫[0,1]∫[1,1-x^2] ydydx ２箇所間違い。Sの代入値の間違いとyの積分範囲が間違い。 [3]と同様に >それに対応するyの範囲は１から1-x^2だと思うのですが・・・ これが間違い。正しいyの範囲は[0～1-x^2] >これで計算しても答えが出ません >yにいたってはマイナスが出てくる始末です。 yの積分範囲が間違っていることが原因。 (積分範囲の下限と上限の大小関係が逆「1>1-x^2」が直接の原因。このことからも積分範囲の間違いに気が付くべきです。） 正しい式は yo=(1/S)∫[0,1]∫[0,1-x^2] ydydx, S=2/3 =(3/2)∫[0,1] [y^2/2][0,1-x^2] dx =(3/2)∫[0,1] (1-x^2)^2/2dx =(3/4)[x-2x^3/3+x^5/5][0,1] =(3/4)(1-(2/3)+(1/5)) =(3/4)(8/15) =2/5 =yg ...((★3)参照) 重心(xo,yo)=(3/8,2/5)=(xg,yg)...((★4)参照) >正しい答えは(３/８、８/５）です。←この答えは問題集の解答 参考URLのANo.2の回答に書いたように「問題集の解答」は明らかに間違いです。 添付図の黄色の領域の重心が、領域外の遥か上方の点P(3/8,8/5)に存在するような解答を間違いと気づかないのですか？ 正しい重心(xo,yo)の位置A(3/8,2/5)を図中にプロットすると、水色の領域のほぼ中央に位置することから、参考URLのANo.2の解答(xg,yg)(★4)が正しいことが明らかでしょう。
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