数学です。回答はやいと助かります！

質問

問題

放物線y=x^2と点(2.6)を通る直線とで囲まれる部分の面積を最小となるような直線の方程式を求めよ

よろしくお願いします!!!

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

点(2.6)を通る直線を
　y=m(x-2)+6
とおくと
y=x^2
との２つの交点をA(p,p^2), B(q,q^2) (p<q)とすると
x^2-mx+2m-6=0
p+q=m, pq=2m-6
q-p=√((p+q)^2-4pq)=√(m^2-8m+24)

S=∫[p,q] (m(x-2)+6-x^2)dx=∫[p,q] -(x-p)(x-q)dx
=∫[p,q] (x-p)(q-p-x+p)dx
=∫[p,q] (q-p)(x-p)-(x-p)^2 dx
=[(q-p)(1/2)(x-p)^2-(1/3)(x-p)^3][p,q]
=(1/2)(q-p)^3 -(1/3)(q-p)^3
=(1/6)(q-p)^3
=(1/6)(m^2-8m+24)^(3/2)
dS/dm=(1/2)(m-4)(m^2-8m+24)^(1/2)
m<4で dS/dm<0, m>4で dS/dm>0, m=0で dS/dm=0 より
Sはm=0で極小値（最小値）S=(1/6)(16-32+24)^(3/2)=(8/3)√(2)
この時　直線の方程式は
　y=4(x-2)+6 → y=4x-2 ...(答え)