点対称の条件です

質問

任意の実数xに対してf（p）＝｛f（p+x）+f（p-x）｝/2　が成立するとき、y＝f（x）が点（p，f（p））について対称であることを示せ。

という問題がうまく示せないのですが、どうしたらいいですか？

回答No.7

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

No.1 です。

まず、点対称の条件ですが、一次元だと、p の 左右同じ距離のところに点があるということです。
で、その点を、x1, x2 とすれば、（簡単のため、x1 < x2 とする）

x1 - p = p - x2 です。（p からの距離が同じ）
これを書き直すと 2p = x1 + x2 となり、 p = (x1 + x2) / 2 になります。

二次元だと x, y 両方について同じことをやるという意味です。

で、y = f(x) が、点 (p, f(p)) について点対称であるというのは、

y1 = f(x1) という関係が成り立つとき、この点と（p, f(p)) について点対称な点、(x2, y2) があって、y2 = f(x2) という関係が成り立つということです。…… 1)

なので、任意の点、 (x + p, f(x + p)) に対して、(x - p, f(x - p)) （この式は、「y = f(x)上にある」という意味の式）が、点対称の位置にあることがいえるので、1) がいえます。

あと、奇関数を使う方法は、まず、「奇関数は原点に対して点対称である」ということが前提になります。

与えられた y = f(x) を -p だけ（x軸上のプラス側にで）平行移動します。
一般に、y = f(x) を -p だけプラス側に（＝ p だけマイナス側に）平行移動すると y = f(x + p) になります。

※例でいえば、y = x^2 を 1 平行移動（1だけ＋側にへ項移動したもの）は、y = (x - 1)^2 になります。
　これは、x = 1 のとき、元の関数の x = 0 と同じ値をとる（その他の値についても）ということから、元の関数に対して、x が 1増えたときに、同じ値になるからです。
これを、g(x) = f(x + p) とおきます。

これを用いて書き換えると
f(p) = g(0 + p) = g(0)
f(p + x) = g(x)
f(p - x) = f(-x + p) = g(-x)
となり、

f(p) = (f(p + x) + f(p - x)) / 2 が成立するので、
g(0) = (g(x) + g(-x)) / 2 がいえます。

あとは、g(x) をさらに、y 方向に -g(0) 平行移動します（y軸のマイナス側に g(0) 移動する）
h(x) = g(x) - g(0) と書き直すとこれは、

h(x) + h(-x) = 0 となり、h(x) は奇関数です。
つまり、h(x) は、原点（0, 0）に対して、点対称です。

さて、h(x) は、どういうものかといえば、もとの f(x) を、x 方向に -p (f(x)→g(x)) y 方向に -g(0)(g(x) → h(x)) 平行移動したのです。

つまり、h(x) 全体を、x 方向（プラスの方向）にp, y方向（プラスの方向）に g(0）（つまり、f(p)）平行移動すると、もとの関数になるわけです。
原点も(0, 0) から、(p, f(p)) に移動しますから、この点に対して点対称となります。

回答No.8

178-tall

>g(x)=f(x-p)-f(p)とおきます。　のときg（-x）＝-g（x）が示されたらf（x）が点対称であることがわかります。

g(x) は "x=p を「中心」とする奇関数" でした。

>ANo.6
　g(x) = {-f(p+x) + f(p-x) }/2
　　　↓
　g(-x) = {-f(p-x) + f(p+x) }/2 = -g(x)

回答No.6

178-tall

< ANo.4

>f(p) = {f(p+x) + f(p-x) }/2　を素直に読み、
>　f(p+x) - f(p) = f(p) - f(p-x)
>と解すればよさそう。

f(p+x) - f(p) = f(p) - f(p-x) が、f(x) の p における奇対称性を示してます。

たとえば g(x) = f(x-p) - f(p) とでもすると、
　f(p) = f(x-p) - g(x) = {f(p+x) + f(p-x) }/2
　g(x) = {-f(p+x) + f(p-x) }/2
が成立ち、g(x) が x=p を「中心」とする奇関数だとわかるでしょう。

回答No.5

178-tall

>ちょっとおっしゃってることがよくわからないですが、確かに奇関数のときは成立しなかったです。
>偶関数のときしか成立しないのでしょうか？

ANo.4 をご覧ください。
奇関数をシフトしたものでした。

ANo.3 の偶関数部ウンヌンは錯誤です。

補足

g(x)=f(x-p)-f(p)とおきます。
このときg（-x）＝-g（x）が示されたらf（x）が点対称であることがわかります。
fが偶関数のとき
g（-x）＝f（-x-p）-f（p）＝f（x+p）-f（p）＝｛f（x+p）-f（x-p）｝/２＝f（p）
となって不成立
fが奇関数のとき
g（-x）＝f（-x-p）-f（p）＝-f（x+p）-｛-f（x-p）+f（x+p）｝/2　
となって不成立
あれ？
常に不成立？どこか間違ってますか？

回答No.4

178-tall

< ANo.3

案の定、素直に読めず、「関数の記述」を誤読してました。
「偶関数部」とは別ものですネ。

f(p) = {f(p+x) + f(p-x) }/2　を素直に読み、
　f(p+x) - f(p) = f(p) - f(p-x)
と解すればよさそう。

回答No.3

178-tall

>任意の実数xに対してf（p）＝｛f（p+x）+f（p-x）｝/2　が成立するとき、y＝f（x）が点（p，f（p））について対称であることを示せ。

この関数の記述、何やらヤヤコシい。
「f(p) は f(p+x) の (x についての) 偶関数部」と読めそうな定義式です。
たとえば p=0 の場合なら　f(0) = {f(x) + f(-x) }/2　で、まさに f(x) の偶関数部。
ちょいと癖の強そうな定義です。「テスト」の行きつく極地？

ふつうは、Ef(x) = {f(x) + f(-x) }/2 というスタイルなので、Ef(-x) = Ef(x) もスンナリと導ける。

ムリヤリ OK と割り切れば、f(0) は f(x) の偶関数部だから「任意の実数 x に対して」 y=f(x) は線{0, f(0) } を軸として対称。
…etc.

補足

ちょっとおっしゃってることがよくわからないですが、確かに奇関数のときは成立しなかったです。

偶関数のときしか成立しないのでしょうか？

回答No.2

Tacosan

「曲線 y=f(x) が点 (a, b) について対称である」とは, どういう条件を満たすときであるかを考えてみてください.

ちなみにですが, 「どうしてもわからない」というなら「あきらめる」というのも選択肢の 1つですよ.

補足

受験勉強というわけではありませんので諦めたくないので質問しました。　

下の補足で大丈夫ですか？

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

点、(x1, y1), (x2, y2) が、点 (x0, y0) について点対称なのは、

(x1 + x2) / 2 = x0 と (y1 + y2) / 2 = y0 が同時に言えるときです。

　あとは、点、((p + x), f(p + x)) と ((p - x), f(p - x)) が、点（o, f(p)) に対して、このような関係であることをいうだけです。

補足

任意の点（p+x,f(p+x)）に対して，点（p-x,f(p-x)）が存在し、
{（p+x）+(p-x)}/2 = p ， {f(p+x)+f(p-x)}/2 =f(p)
を満たすのでy=f(x)は点（p,f(p)）について点対称

ということで大丈夫でしょうか