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y' = f(y/x)の解

詳解 物理応用 数学演習という本を独学しています。 y' = f(y/x)の解き方が掲載されているのですが、なぜdv / (f(v) - v)の積分が解となるのかがよく理解できませんでした。 よろしくお願いいたします。

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回答No.1

 v = y/x  y = xv これを、xで微分すると、  y' = (xv)' = v + xv' = f(y/x) = f(v)  xv' = f(v) - v  v' = (f(v)-v)/x  dv/dx = (f(v)-v)/x  dv/(f(v)-v) = dx/x これを積分すると、  ∫dv/(f(v)-v) = ∫dx/x 左辺はf(v)の具体的な関数が与えられないと、この積分はできないので、  g(v) = ∫dv/(f(v)-v) と置いた。 でも、右辺は簡単に積分できるので、  ∫dx/x = log(x) + c だから、  g(v) = log(x) + c v= y/xだから、  g(y/x) = log(x) + c こんな感じです。

flex1101
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 f(v)の積分(左辺)が解けないため、1/xの積分 (右辺)を解く、ということですね。 理解できました。

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