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螺旋の周長の求め方
mame594の回答
- mame594
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半径ａの円を原点中心に置く． （ａ，０）から糸を反時計回りに伸ばし始めて，角θの位置まで伸ばしたとする． この時，円周上の位置をＡ糸の先の位置をＰとすると，∠ＯＡＰは直角だから， ＯＰ＾２＝ＯＡ＾２＋ＡＰ＾２ となる． ＯＰ＝ｒとおく ＯＡ＝ａで一定 ＡＰ＝ａθ（それまでに伸ばした糸の長さになる） よって，ｒ＾２＝ａ＾２（１＋θ＾２） ｒ＝ａ（１＋θ＾２）＾（１／２） 弧の長さは直交座標ではΔｓ＝（（Δｘ）＾２＋（Δｙ）＾２）＾（１／２） を積分するが， 今回のような極座標では，Δｓ＝（（Δｒ）＾２＋（ｒΔθ）＾２）＾（１／２） ＝（ｒ＾２＋（Δｒ／Δθ）＾２）＾（１／２）Δθを積分する． ｄｒ／ｄθ＝ａθ（１＋θ＾２）＾（－１／２） だから， 求める弧の長さは，最初から角αまで伸ばしたとして， ｓ＝ａ∫[０→α]（（１＋３θ＾２＋θ＾４）／（１＋θ＾２））＾（１／２）ｄθ となるのではないかと．解析的には解けないと思います．
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