電磁気学の問題です

質問

無限に長い半径ａの円筒の内部に、単位長さあたりλの電荷が一様に分布、帯電しているとき、
円筒の中心軸から距離ｒの点における電界の強さを求めよ。

解答：λ/2πεｒ　(ｒ＞ａ)
　　　 λｒ/2πεａ^2　(ｒ＜ａ)

さっぱり分からないので解答までの導出を詳しく教えてください。

回答No.1

BookerL · ベストアンサー

ガウスの法則を使います。内部に電荷Ｑを含む閉曲面を通過する電気力線の本数は、Ｑ/ε で、１ｍ^2 あたりの電気力線の本数が 電場の強さ Ｅ です。

　この問題の場合は、ガウスの法則の閉曲面として、円筒の軸を同じ軸を持つ仮想の円筒面を考えます。半径を ｒ、長さを単位長さとします。
　また、半径ａ・単位長さの円筒の体積は ２πａ^2 で、その中に電荷λがあるので、単位体積あたりの電荷密度は
λ/２πａ^2
となります。

　ｒ＜ａ のとき
　この閉曲面は円筒の内部にあり、閉曲面の内側の体積は ２πｒ^2 なので、閉曲面内の電荷は、λ/２πａ^2×２πｒ^2 ＝ λｒ^2/ａ^2　となり、この電荷から出る電気力線の本数は λｒ^2/ａ^2εとなります。
　この電気力線が、仮想の円筒面から出るわけですが、対称性より、円筒の底面は通らず、すべて側面を通ります。円柱の側面の面積は ２πｒ ですから、単位面積を通過する電気力線の本数は、

λｒ^2/ａ^2ε÷ ２πｒ ＝ λｒ/２πａ^2ε

となります。これが、仮想閉曲面上の電場の強さ、つまり、円筒の中心から ｒ のところの電場の強さです。

ｒ＞ａのとき
　この閉曲面は円筒の外部にあり、閉曲面内の電荷は単位長さの円筒内の電荷になり、λです。この電荷から出る電気力線の本数は λ/ε で、これが閉曲面の側面 ２πｒ の面積を通過するので、単位面積あたりの電気力線の本数は

λ/ε÷ ２πｒ ＝ λ/２πｒε

となります。

お礼

ありがとうございます。助かりました。